Résoudre $q^x = a$, $\log(x) = a$ et les inéquations associées en Terminale
Résoudre $q^x = a$, $\log(x) = a$ et les inéquations associées, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle et logarithme appliqués », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Résoudre $q^x = a$, $\log(x) = a$ et les inéquations associées : le cours
Pour $a > 0$ : $q^x = a \iff \log(q^x) = \log(a) \iff x\log(q) = \log(a) \iff x = \frac{\log(a)}{\log(q)}$. Pour une inéquation $q^x \geq a$, on divise par $\log(q)$ : si $q > 1$, $\log(q) > 0$ et le sens est conservé ; si $0 < q < 1$, $\log(q) < 0$ et le sens de l'inégalité change. Enfin, $\log(x) = a \iff x = 10^a$, et, comme la fonction log est croissante, $\log(x) \leq a \iff 0 < x \leq 10^a$.
Exemple
$2^x = 10 \iff x = \frac{\log(10)}{\log(2)} = \frac{1}{\log(2)} \approx 3{,}32$. $0{,}9^x \leq 0{,}5 \iff x\log(0{,}9) \leq \log(0{,}5) \iff x \geq \frac{\log(0{,}5)}{\log(0{,}9)} \approx 6{,}58$ (le sens change car $\log(0{,}9) < 0$). $\log(x) = 2{,}5 \iff x = 10^{2{,}5} \approx 316{,}2$.
À retenir
$q^x = a \iff x = \frac{\log a}{\log q}$ ; attention au changement de sens de l'inégalité quand $0 < q < 1$.
S'entraîner sur résoudre $q^x = a$, $\log(x) = a$ et les inéquations associées
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On place 5 000 euros à intérêts composés au taux annuel de 3 %. Le capital après $t$ années est $C(t) = 5\,000 \times 1{,}03^t$. a) Calculer le capital après 10 ans (au centime près). b) Déterminer, à l'aide du logarithme décimal, au bout de combien d'années entières le capital dépasse 7 000 euros.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une substance radioactive a une demi-vie de 8 jours. On en possède 100 g. La masse restante après $t$ jours est $m(t) = 100 \times 0{,}5^{t/8}$. a) Quelle masse reste-t-il après 24 jours ? b) À partir de combien de jours (arrondir au jour supérieur) reste-t-il moins de 1 g ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle et logarithme appliqués (Mathématiques Terminale).
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