Fonctions exponentielles $x \mapsto q^x$ : prolongement des suites géométriques en Terminale
Fonctions exponentielles $x \mapsto q^x$ : prolongement des suites géométriques, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle et logarithme appliqués », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Fonctions exponentielles $x \mapsto q^x$ : prolongement des suites géométriques : le cours
Pour un réel $q$ strictement positif et différent de 1, la suite géométrique $u_n = q^n$ n'est définie que pour les entiers $n$. La fonction exponentielle de base $q$, $f(x) = q^x$, prolonge cette suite à tous les nombres réels $x$ : elle prend les mêmes valeurs aux entiers et « comble les trous » entre eux. Elle est définie sur $\mathbb{R}$ et prend toujours des valeurs strictement positives.
Exemple
Une population de bactéries qui double chaque heure est modélisée par $N(t) = 1\,000 \times 2^t$ ($t$ en heures). Aux heures entières, on retrouve la suite géométrique 1 000 ; 2 000 ; 4 000… ; au bout d'une heure et demie, $N(1{,}5) = 1\,000 \times 2^{1{,}5} \approx 2\,828$ bactéries.
À retenir
$f(x) = q^x$ ($q > 0$, $q \neq 1$) prolonge la suite $(q^n)$ ; $q^0 = 1$ et $q^x > 0$ pour tout $x$.
S'entraîner sur fonctions exponentielles $x \mapsto q^x$ : prolongement des suites géométriques
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On place 5 000 euros à intérêts composés au taux annuel de 3 %. Le capital après $t$ années est $C(t) = 5\,000 \times 1{,}03^t$. a) Calculer le capital après 10 ans (au centime près). b) Déterminer, à l'aide du logarithme décimal, au bout de combien d'années entières le capital dépasse 7 000 euros.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une substance radioactive a une demi-vie de 8 jours. On en possède 100 g. La masse restante après $t$ jours est $m(t) = 100 \times 0{,}5^{t/8}$. a) Quelle masse reste-t-il après 24 jours ? b) À partir de combien de jours (arrondir au jour supérieur) reste-t-il moins de 1 g ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle et logarithme appliqués (Mathématiques Terminale).
Autres notions de ce chapitre
- Variations et représentation graphique de $x \mapsto q^x$
- Propriétés opératoires des fonctions exponentielles
- Fonction logarithme décimal
- Propriétés opératoires du logarithme décimal
- Résoudre $q^x = a$, $\log(x) = a$ et les inéquations associées
- Modéliser des phénomènes d'évolution ; papier semi-logarithmique