Convexité : définition et lien avec la dérivée seconde en Terminale
Convexité : définition et lien avec la dérivée seconde, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Compléments sur la dérivation », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Convexité : définition et lien avec la dérivée seconde : le cours
Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle si, sur cet intervalle, sa courbe est située en dessous de chacune de ses sécantes (entre les deux points d'intersection). Pour une fonction deux fois dérivable, c'est équivalent (admis) à : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, ou $f'$ est croissante, ou $f''(x) \geq 0$ sur l'intervalle. La courbe d'une fonction convexe a une forme de bol.
Exemple
La fonction carré $x \mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ : sa dérivée seconde vaut $2 > 0$, et sa parabole, en forme de bol, reste au-dessus de toutes ses tangentes.
À retenir
Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est convexe sur cet intervalle.
S'entraîner sur convexité : définition et lien avec la dérivée seconde
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = (2x - 3)^4$. Calculez $f'(x)$ et $f''(x)$, puis déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Trouvez les points d'inflexion et déterminez les intervalles de convexité et de concavité.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Compléments sur la dérivation (Mathématiques Terminale).