Symétrie, relation de Pascal et triangle de Pascal en Terminale
Symétrie, relation de Pascal et triangle de Pascal, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Combinatoire et dénombrement », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Symétrie, relation de Pascal et triangle de Pascal : le cours
Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, car choisir les $k$ éléments qu'on garde revient à choisir les $n - k$ qu'on laisse. Relation de Pascal : pour $1 \leq k \leq n - 1$, $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$. Justification : on fixe un élément $a$ de $E$ ; les parties à $k$ éléments qui contiennent $a$ sont au nombre de $\binom{n-1}{k-1}$, celles qui ne le contiennent pas au nombre de $\binom{n-1}{k}$, et ces deux ensembles sont disjoints. Le triangle de Pascal range les $\binom{n}{k}$ ligne par ligne : chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.
Exemple
Lignes $n = 0$ à $n = 4$ : 1 ; 1 1 ; 1 2 1 ; 1 3 3 1 ; 1 4 6 4 1. Par exemple $\binom{4}{2} = \binom{3}{1} + \binom{3}{2} = 3 + 3 = 6$. La somme des nombres de la ligne 4 vaut $16 = 2^4$ : en comptant les parties selon leur nombre d'éléments, on retrouve $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
À retenir
$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ ; $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ ; $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
S'entraîner sur symétrie, relation de pascal et triangle de pascal
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats et 4 desserts. a) Combien de menus « entrée + plat + dessert » peut-on composer ? b) Le restaurant propose aussi des formules « plat + dessert » (sans entrée). Combien de repas différents un client peut-il commander au total, en choisissant soit un menu complet, soit une formule ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une classe de 25 élèves, a) combien y a-t-il de façons de choisir un délégué et un suppléant (deux élèves différents) ? b) combien de groupes de 3 élèves peut-on former pour un exposé ? c) combien de sous-ensembles d'élèves (y compris le groupe vide) peut-on former ? (donner le résultat sous forme de puissance)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Combinatoire et dénombrement (Mathématiques Terminale).