Nombre de parties d'un ensemble : $2^n$ en Terminale
Nombre de parties d'un ensemble : $2^n$, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Combinatoire et dénombrement », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Nombre de parties d'un ensemble : $2^n$ : le cours
Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties (sous-ensembles), en comptant l'ensemble vide et l'ensemble lui-même. Justification : on numérote les éléments $x_1, \dots, x_n$ ; à chaque partie, on associe le mot binaire de longueur $n$ dont le $i$-ème caractère vaut 1 si $x_i$ est dans la partie et 0 sinon. Chaque partie correspond à un seul mot et chaque mot à une seule partie ; or il y a $2^n$ mots binaires de longueur $n$ (des $n$-uplets de $\{0 ; 1\}$). C'est aussi le nombre de chemins d'un arbre à $n$ niveaux dont chaque nœud a deux branches (« je prends » / « je ne prends pas »).
Exemple
$E = \{a, b, c\}$ a $2^3 = 8$ parties : $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$, $\{a, b\}$, $\{a, c\}$, $\{b, c\}$, $\{a, b, c\}$. La partie $\{a, c\}$ correspond au mot binaire 101.
À retenir
Un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties, autant que de mots binaires de longueur $n$.
S'entraîner sur nombre de parties d'un ensemble : $2^n$
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats et 4 desserts. a) Combien de menus « entrée + plat + dessert » peut-on composer ? b) Le restaurant propose aussi des formules « plat + dessert » (sans entrée). Combien de repas différents un client peut-il commander au total, en choisissant soit un menu complet, soit une formule ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une classe de 25 élèves, a) combien y a-t-il de façons de choisir un délégué et un suppléant (deux élèves différents) ? b) combien de groupes de 3 élèves peut-on former pour un exposé ? c) combien de sous-ensembles d'élèves (y compris le groupe vide) peut-on former ? (donner le résultat sous forme de puissance)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Combinatoire et dénombrement (Mathématiques Terminale).