Choisir une représentation adaptée pour dénombrer en Terminale
Choisir une représentation adaptée pour dénombrer, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Combinatoire et dénombrement », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Choisir une représentation adaptée pour dénombrer : le cours
Avant de calculer, on modélise la situation : ensembles (pour appliquer le principe additif), arbre (choix successifs), tableau à double entrée (couples), mots ou chemins. Les questions à se poser : l'ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles possibles ? Selon les réponses, on compte des $k$-uplets ($n^k$), des $k$-uplets d'éléments distincts ($\frac{n!}{(n-k)!}$) ou des parties ($\binom{n}{k}$).
Exemple
Combien de mots de 5 lettres formés uniquement de A et de B contiennent exactement 2 lettres A ? Un tel mot est entièrement déterminé par les positions des deux A, c'est-à-dire par une partie à 2 éléments de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ : il y en a $\binom{5}{2} = 10$. De même, sur un quadrillage, un chemin de 5 pas formé de 2 pas « haut » et 3 pas « droite » se code par un mot de ce type : il y a 10 chemins.
À retenir
Ordre qui compte + répétitions : $n^k$. Ordre qui compte, sans répétition : $\frac{n!}{(n-k)!}$. Ordre qui ne compte pas, sans répétition : $\binom{n}{k}$.
S'entraîner sur choisir une représentation adaptée pour dénombrer
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats et 4 desserts. a) Combien de menus « entrée + plat + dessert » peut-on composer ? b) Le restaurant propose aussi des formules « plat + dessert » (sans entrée). Combien de repas différents un client peut-il commander au total, en choisissant soit un menu complet, soit une formule ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une classe de 25 élèves, a) combien y a-t-il de façons de choisir un délégué et un suppléant (deux élèves différents) ? b) combien de groupes de 3 élèves peut-on former pour un exposé ? c) combien de sous-ensembles d'élèves (y compris le groupe vide) peut-on former ? (donner le résultat sous forme de puissance)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Combinatoire et dénombrement (Mathématiques Terminale).