Principe multiplicatif et k-uplets en Terminale
Principe multiplicatif et k-uplets, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Combinatoire et dénombrement », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Principe multiplicatif et k-uplets : le cours
Le produit cartésien $A \times B$ est l'ensemble des couples $(a ; b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$ ; on a $\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B)$ (principe multiplicatif), et cela se généralise à plusieurs ensembles. Un $k$-uplet (ou $k$-liste) d'éléments de $E$ est une liste ordonnée $(x_1 ; x_2 ; \dots ; x_k)$ d'éléments de $E$, avec répétitions possibles : c'est un élément de $E^k = E \times E \times \dots \times E$. Si $E$ a $n$ éléments, il y a $n^k$ tels $k$-uplets.
Exemple
Un menu comprend une entrée parmi 4 et un dessert parmi 3 : il y a $4 \times 3 = 12$ menus (couples). Un code à 4 chiffres, chaque chiffre pouvant aller de 0 à 9, est un 4-uplet de $\{0, 1, \dots, 9\}$ : il y a $10^4 = 10\,000$ codes.
À retenir
Choix successifs indépendants : on multiplie. Nombre de $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments : $n^k$ (l'ordre compte, les répétitions sont permises).
S'entraîner sur principe multiplicatif et k-uplets
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats et 4 desserts. a) Combien de menus « entrée + plat + dessert » peut-on composer ? b) Le restaurant propose aussi des formules « plat + dessert » (sans entrée). Combien de repas différents un client peut-il commander au total, en choisissant soit un menu complet, soit une formule ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une classe de 25 élèves, a) combien y a-t-il de façons de choisir un délégué et un suppléant (deux élèves différents) ? b) combien de groupes de 3 élèves peut-on former pour un exposé ? c) combien de sous-ensembles d'élèves (y compris le groupe vide) peut-on former ? (donner le résultat sous forme de puissance)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Combinatoire et dénombrement (Mathématiques Terminale).