k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations en Terminale
k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Combinatoire et dénombrement », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations : le cours
Si $E$ a $n$ éléments et $1 \leq k \leq n$, le nombre de $k$-uplets d'éléments distincts de $E$ (l'ordre compte, sans répétition) est $n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)$ : $n$ choix pour le premier, $n - 1$ pour le deuxième, etc. On note $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$ (factorielle $n$), avec $0! = 1$ ; ce nombre s'écrit aussi $\frac{n!}{(n-k)!}$. Une permutation de $E$ est un $n$-uplet d'éléments distincts de $E$ (une façon d'ordonner tous ses éléments) : il y en a $n!$.
Exemple
Ranger 5 livres différents sur une étagère : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ rangements. Attribuer les médailles d'or, d'argent et de bronze à 3 des 8 finalistes : $8 \times 7 \times 6 = 336$ podiums.
À retenir
$k$-uplets d'éléments distincts : $n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ ; permutations : $n!$.
S'entraîner sur k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un restaurant propose 5 entrées, 8 plats et 4 desserts. a) Combien de menus « entrée + plat + dessert » peut-on composer ? b) Le restaurant propose aussi des formules « plat + dessert » (sans entrée). Combien de repas différents un client peut-il commander au total, en choisissant soit un menu complet, soit une formule ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans une classe de 25 élèves, a) combien y a-t-il de façons de choisir un délégué et un suppléant (deux élèves différents) ? b) combien de groupes de 3 élèves peut-on former pour un exposé ? c) combien de sous-ensembles d'élèves (y compris le groupe vide) peut-on former ? (donner le résultat sous forme de puissance)
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Combinatoire et dénombrement (Mathématiques Terminale).