Statistiques et probabilités en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de statistiques et probabilités pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Statistiques descriptives : moyenne, médiane, quartiles
- Écart-type et variance d'une série statistique
- Diagrammes statistiques, histogrammes et boîtes à moustaches
- Échantillonnage et fluctuation d'échantillonnage
- Expérience aléatoire, univers et événements
- Loi de probabilité sur un univers fini
- Probabilité d'un événement : calcul et propriét��s
- Simulation d'une expérience aléatoire (Python)
Moyenne, médiane et quartiles
La moyenne est la somme de tous les nombres divisée par le nombre de nombres. La médiane est la valeur du milieu qui sépare les données en deux parts égales. Les quartiles divisent les données en quatre parts égales.
Exemple
Pour les notes d'une classe : 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. La moyenne est 14, la médiane est 14, et le premier quartile Q1 = 10.
À retenir : La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.
Variance et écart-type
La variance mesure la dispersion des données autour de la moyenne. L'écart-type est la racine carrée de la variance et s'exprime dans la même unité que les données.
Exemple
Si les salaires d'une entreprise varient beaucoup, l'écart-type sera grand. S'ils sont tous proches du salaire moyen, l'écart-type sera petit.
À retenir : L'écart-type mesure comment les données s'éloignent de la moyenne : plus il est grand, plus les données sont dispersées.
Diagrammes et histogrammes
Un diagramme représente les données de façon visuelle (barres, secteurs, courbes). Un histogramme est un diagramme en barres où chaque barre représente une classe de données continues.
Exemple
Un diagramme circulaire pour montrer le temps passé sur les réseaux sociaux, ou un histogramme pour les tailles des élèves d'une classe.
À retenir : Les histogrammes servent pour les données continues, les diagrammes en barres pour les données discrètes.
Boîtes à moustaches
Une boîte à moustaches est un graphique qui montre la médiane, les quartiles et les valeurs extrêmes d'une série de données en un seul dessin.
Exemple
Comparer les résultats de deux classes à un contrôle : on voit rapidement laquelle a des résultats plus homogènes.
À retenir : La boîte à moustaches permet de comparer rapidement la dispersion et la tendance centrale de plusieurs séries.
Échantillonnage et fluctuation
Un échantillon est un petit groupe prélevé dans une population. La fluctuation d'échantillonnage signifie que chaque échantillon donne des résultats légèrement différents.
Exemple
Un sondage politique interroge 1000 personnes au lieu de tous les électeurs. Si on refait le sondage avec 1000 autres personnes, les résultats seront légèrement différents.
À retenir : Plus l'échantillon est grand, moins la fluctuation d'échantillonnage est importante.
Expérience aléatoire et univers
Une expérience aléatoire est une action dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude. L'univers est l'ensemble de tous les résultats possibles.
Exemple
Lancer un dé : c'est aléatoire. L'univers est {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Tirer une carte dans un jeu : l'univers contient 52 cartes.
À retenir : L'univers est noté généralement Ω et contient tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Événements et probabilités
Un événement est un sous-ensemble de l'univers. La probabilité d'un événement est un nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'il se produise.
Exemple
Au dé : l'événement 'obtenir un nombre pair' = {2, 4, 6}. Sa probabilité est 3/6 = 0,5 ou 50%.
À retenir : La probabilité d'un événement = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
Loi de probabilité
Une loi de probabilité associe à chaque résultat possible de l'univers une probabilité. La somme de toutes les probabilités vaut 1.
Exemple
Pour un dé équilibré : chaque face a une probabilité de 1/6. Pour une pièce : pile et face ont chacun une probabilité de 1/2.
À retenir : La somme de toutes les probabilités d'une loi de probabilité est toujours égale à 1.
Propriétés des probabilités
Les probabilités suivent des règles : la probabilité d'un événement impossible est 0, celle d'un événement certain est 1, et on peut additionner les probabilités d'événements incompatibles.
Exemple
Au dé : P(obtenir 7) = 0 (impossible). P(obtenir un nombre entre 1 et 6) = 1 (certain). P(pair ou impair) = P(pair) + P(impair) = 1/2 + 1/2 = 1.
À retenir : Pour deux événements incompatibles A et B : P(A ou B) = P(A) + P(B).
Simulation avec Python
Simuler une expérience aléatoire avec Python permet de vérifier les probabilités théoriques en répétant l'expérience des milliers de fois.
Exemple
Simuler 10000 lancers de dé pour vérifier que chaque face apparaît environ 1/6 des fois. Ou simuler 1000 lancers de pièce pour vérifier que pile et face apparaissent chacun environ 500 fois.
À retenir : Plus on simule d'expériences, plus les résultats se rapprochent des probabilités théoriques (loi des grands nombres).
Les points clés
- La médiane et les quartiles décrivent le centre et la dispersion des données sans être influencés par les valeurs extrêmes
- L'écart-type mesure la dispersion : plus il est grand, plus les données sont éloignées de la moyenne
- La probabilité d'un événement = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles (si tous les cas sont équiprobables)
- La somme de toutes les probabilités d'une loi de probabilité vaut toujours 1
- Plus l'échantillon est grand, plus les résultats sont fiables et moins la fluctuation d'échantillonnage est importante
L'essentiel
Les statistiques décrivent des données réelles, les probabilités prédisent ce qui peut se passer : ensemble, elles permettent de comprendre l'incertitude et de prendre des décisions.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Une classe a obtenu les notes suivantes à un contrôle : 8, 9, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20. Calcule la moyenne, la médiane, Q1 et Q3.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →