Statistiques et probabilités en 2nde
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de statistiques et probabilités pour les élèves de 2nde. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
- Moyenne, médiane, quartiles ; linéarité de la moyenne
- Écart type d'une série statistique
- Effet de l'ajout ou de la suppression d'une valeur
- Séries regroupées en classes
- Comparer deux séries
- Événements, événement contraire, P(A) = Card(A)/Card(Ω)
- Modèle probabiliste : la loi est une hypothèse
- Loi des grands nombres et fluctuation d'échantillonnage
- Simulation d'une expérience aléatoire
Ce que tu vas réviser
- Moyenne, médiane, quartiles ; linéarité de la moyenne
- Écart type d'une série statistique
- Effet de l'ajout ou de la suppression d'une valeur sur la moyenne et la médiane
- Séries regroupées en classes : histogramme, polygone des fréquences cumulées, moyenne pondérée, classe médiane
- Comparer deux séries : moyenne-écart type, médiane-écart interquartile, boîtes à moustaches
- Événements, événement contraire, P(A) = Card(A)/Card(Ω)
- Modèle probabiliste : la loi (par exemple l'équiprobabilité) est une hypothèse du modèle
- Loi des grands nombres (version vulgarisée) et fluctuation d'échantillonnage
- Simulation d'une expérience aléatoire (Python ou tableur)
Moyenne, médiane, quartiles ; linéarité de la moyenne
La moyenne d'une série est la somme des valeurs divisée par l'effectif total. La médiane partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : c'est la valeur centrale si l'effectif est impair, la moyenne des deux valeurs centrales s'il est pair. Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. Linéarité : si on transforme chaque valeur $x$ en $ax + b$, la moyenne $\bar{x}$ devient $a\bar{x} + b$.
Exemple
Série rangée : 4, 7, 8, 10, 12, 15, 16, 20 (effectif 8). Moyenne : $\frac{92}{8} = 11{,}5$. Médiane : $\frac{10 + 12}{2} = 11$. $Q_1$ : 25 % de 8 = 2, donc $Q_1$ est la 2e valeur, 7. $Q_3$ : 75 % de 8 = 6, donc $Q_3$ est la 6e valeur, 15. Si on ajoute 2 à chaque valeur, la moyenne devient $11{,}5 + 2 = 13{,}5$ ; si on multiplie chaque valeur par 1,5, elle devient $1{,}5 \times 11{,}5 = 17{,}25$.
À retenir : Pour les quartiles : on range la série, on calcule 25 % (ou 75 %) de l'effectif et on arrondit à l'entier supérieur si besoin pour obtenir le rang. Moyenne de $ax + b$ : $a\bar{x} + b$.
Écart type d'une série statistique
L'écart type $\sigma$ mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Pour une série $x_1, \ldots, x_n$ de moyenne $\bar{x}$ : $\sigma = \sqrt{\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}}$. Plus il est grand, plus les valeurs sont éloignées de la moyenne ; on le calcule en général à la calculatrice ou au tableur.
Exemple
Série 8, 10, 12 : la moyenne vaut 10, les écarts à la moyenne valent $-2$, 0 et 2, leurs carrés 4, 0 et 4. Donc $\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}63$. Pour la série 10, 10, 10, l'écart type vaut 0 : aucune dispersion.
À retenir : Écart type = racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; il s'exprime dans la même unité que les valeurs.
Effet de l'ajout ou de la suppression d'une valeur
Ajouter une valeur supérieure à la moyenne fait augmenter la moyenne ; ajouter une valeur inférieure la fait diminuer ; ajouter une valeur égale à la moyenne ne la change pas (et inversement pour une suppression). La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, alors que la médiane l'est beaucoup moins : une seule valeur très grande peut beaucoup modifier la moyenne et très peu la médiane.
Exemple
Salaires de 5 employés : 1 500, 1 600, 1 700, 1 800 et 1 900 € : moyenne 1 700 €, médiane 1 700 €. On ajoute le salaire du directeur, 9 000 € : la moyenne devient $\frac{8\,500 + 9\,000}{6} = \frac{17\,500}{6} \approx 2\,916{,}67$ €, alors que la médiane devient $\frac{1\,700 + 1\,800}{2} = 1\,750$ €.
À retenir : Une valeur extrême influence fortement la moyenne, peu la médiane.
Séries regroupées en classes
Quand les valeurs sont regroupées en classes, on représente la série par un histogramme : chaque classe est un rectangle dont l'aire est proportionnelle à l'effectif (la hauteur n'est proportionnelle à l'effectif que si toutes les classes ont la même amplitude). Le polygone des fréquences cumulées croissantes relie les points dont l'abscisse est la borne supérieure de chaque classe et l'ordonnée la fréquence cumulée correspondante. On obtient une valeur approchée de la moyenne par une moyenne pondérée, en remplaçant chaque classe par son centre. La classe médiane est la classe qui contient la médiane : celle où la fréquence cumulée dépasse 50 %.
Exemple
Temps de trajet (en min) de 40 élèves : [0 ; 10[ : 8 ; [10 ; 20[ : 14 ; [20 ; 30[ : 12 ; [30 ; 40[ : 6. Moyenne approchée avec les centres 5, 15, 25, 35 : $\frac{5 \times 8 + 15 \times 14 + 25 \times 12 + 35 \times 6}{40} = \frac{40 + 210 + 300 + 210}{40} = \frac{760}{40} = 19$ min. Fréquences cumulées : 0,2 ; 0,55 ; 0,85 ; 1. La fréquence cumulée passe de 0,2 à 0,55 dans la classe [10 ; 20[ : c'est la classe médiane.
À retenir : Histogramme : aire proportionnelle à l'effectif ; moyenne approchée = moyenne des centres pondérée par les effectifs ; classe médiane : là où la fréquence cumulée atteint 50 %.
Comparer deux séries
Pour comparer deux séries, on utilise un couple d'indicateurs : (moyenne ; écart type) ou (médiane ; écart interquartile $Q_3 - Q_1$). Une boîte à moustaches représente le minimum, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le maximum : la boîte va de $Q_1$ à $Q_3$ et contient au moins la moitié des valeurs.
Exemple
Deux classes ont la même moyenne, 11 sur 20, mais des écarts types de 1,5 et de 4 : les notes de la seconde classe sont beaucoup plus dispersées. Pour une série avec $Q_1 = 8$, médiane 11 et $Q_3 = 13$, l'écart interquartile vaut $13 - 8 = 5$.
À retenir : Moyenne avec écart type, médiane avec écart interquartile : on compare toujours une position et une dispersion.
Événements, événement contraire, P(A) = Card(A)/Card(Ω)
L'univers $\Omega$ est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire ; un événement est une partie de $\Omega$. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent. L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est formé des issues qui ne sont pas dans $A$ : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$. Dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité), $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$, où Card désigne le nombre d'éléments.
Exemple
On lance un dé équilibré : $\Omega = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}$. $A$ : « obtenir un multiple de 3 » $= \{3 ; 6\}$, donc $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $\overline{A} = \{1 ; 2 ; 4 ; 5\}$ et $P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
À retenir : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ; en situation d'équiprobabilité seulement : $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$.
Modèle probabiliste : la loi est une hypothèse
Choisir une loi de probabilité (par exemple l'équiprobabilité) est une hypothèse du modèle : elle ne se démontre pas. On la justifie par la symétrie de la situation ou par l'observation de fréquences sur un grand nombre d'expériences, et on peut la remettre en question si les fréquences observées s'en écartent nettement.
Exemple
Pour un dé bien fabriqué, on choisit le modèle équiprobable : chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$. Pour une punaise qui tombe « pointe en haut » ou « pointe en bas », rien ne justifie l'équiprobabilité : on estime la probabilité de chaque issue à partir des fréquences observées sur de nombreux lancers.
À retenir : Le modèle (la loi choisie) est une hypothèse ; l'expérience permet de le tester.
Loi des grands nombres et fluctuation d'échantillonnage
Loi des grands nombres (version vulgarisée) : quand on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois de façon indépendante, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité. Fluctuation d'échantillonnage : sur des échantillons de même taille, les fréquences observées varient d'un échantillon à l'autre ; ces variations sont en général plus faibles pour des échantillons plus grands.
Exemple
En lançant 10 fois une pièce équilibrée, on peut obtenir 3 ou 7 « pile » (fréquences 0,3 ou 0,7). En la lançant 10 000 fois, la fréquence de « pile » est en général très proche de 0,5.
À retenir : Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée est en général proche de la probabilité ; sur un petit échantillon, de fortes variations sont normales.
Simulation d'une expérience aléatoire
Simuler une expérience aléatoire, c'est la remplacer par un tirage de nombres au hasard avec un programme ou un tableur, pour la répéter un grand nombre de fois rapidement. En Python, randint(1, 6) simule un lancer de dé ; au tableur, on utilise =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6).
Exemple
```python from random import randint def frequence_six(n): c = 0 for i in range(n): if randint(1, 6) == 6: c = c + 1 return c / n ``` frequence_six(10000) renvoie la fréquence des 6 sur 10 000 lancers simulés : une valeur en général proche de $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$.
À retenir : La simulation permet d'observer la loi des grands nombres et la fluctuation d'échantillonnage.
Les points clés
- Médiane : valeur centrale (effectif impair) ou moyenne des deux valeurs centrales (effectif pair) ; $Q_1$ (resp. $Q_3$) : plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % (resp. 75 %) des valeurs lui soient inférieures ou égales
- Linéarité : la moyenne de $ax + b$ est $a\bar{x} + b$
- Écart type : racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne
- Une valeur extrême modifie beaucoup la moyenne et peu la médiane
- Histogramme : l'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif ; classe médiane : là où la fréquence cumulée atteint 50 %
- Comparer deux séries : (moyenne ; écart type) ou (médiane ; écart interquartile), boîtes à moustaches
- $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ; en situation d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$
- La loi de probabilité est une hypothèse du modèle ; la fréquence observée se rapproche de la probabilité quand le nombre d'expériences augmente
L'essentiel
Une série statistique se résume par un indicateur de position (moyenne ou médiane) associé à un indicateur de dispersion (écart type ou écart interquartile). En probabilités, la loi est une hypothèse du modèle, et la simulation d'un grand nombre d'expériences montre que les fréquences fluctuent et se rapprochent des probabilités.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Voici les temps (en minutes) mis par 9 élèves pour résoudre une énigme : 12, 7, 15, 9, 11, 8, 14, 10, 13. 1) Calcule la moyenne, la médiane, $Q_1$ et $Q_3$. 2) Calcule l'écart type, arrondi au dixième. 3) Un dixième élève met 40 minutes. Quel est l'effet sur la moyenne et sur la médiane ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On lance deux dés équilibrés à 6 faces et on note la somme des deux résultats. 1) Combien y a-t-il de couples de résultats possibles ? On suppose (hypothèse du modèle) que ces couples sont équiprobables. 2) Calcule la probabilité de l'événement $A$ : « la somme vaut 7 », puis celle de $\overline{A}$. 3) Une simulation de 1 000 lancers donne une fréquence de 0,158 pour l'événement $A$. Ce résultat remet-il en cause le modèle ? Que peut-on attendre avec 100 000 lancers ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →