Répétition d'épreuves de Bernoulli : arbre en 1ère
Répétition d'épreuves de Bernoulli : arbre, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Probabilités et variables aléatoires (1ère techno) », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Répétition d'épreuves de Bernoulli : arbre : le cours
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès, de probabilité $p$, et échec, de probabilité $1 - p$. Quand on répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante ($n \leq 4$ ici), on représente la situation par un arbre : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches, et la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
Exemple
Un joueur réussit un tir au but avec la probabilité 0,7 et tire 3 fois, de façon indépendante. $P(\text{3 réussites}) = 0{,}7^3 = 0{,}343$. Pour exactement 2 réussites, il y a 3 chemins (RRE, RER, ERR), chacun de probabilité $0{,}7^2 \times 0{,}3 = 0{,}147$ : la probabilité vaut $3 \times 0{,}147 = 0{,}441$.
À retenir
Arbre de $n$ épreuves identiques et indépendantes : produit le long d'un chemin, somme des chemins favorables.
S'entraîner sur répétition d'épreuves de bernoulli : arbre
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un QCM comporte 3 questions indépendantes. Chaque question propose 4 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question. 1) Construis l'arbre de la situation (J : réponse juste, F : réponse fausse). 2) Calcule la probabilité que l'élève ait les 3 réponses justes, puis exactement une réponse juste. 3) Soit $X$ le nombre de réponses justes. Donne la loi de $X$ et calcule $E(X)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un lycée, 40 % des élèves prennent le bus (événement $B$). Parmi les élèves qui prennent le bus, 25 % arrivent en retard au moins une fois par mois (événement $R$) ; parmi les autres élèves, 10 % arrivent en retard au moins une fois par mois. On choisit un élève au hasard. 1) Construis un arbre pondéré et calcule $P(R)$. 2) Les événements $B$ et $R$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités et variables aléatoires (1ère techno) (Mathématiques 1ère).