Indépendance de deux événements en 1ère
Indépendance de deux événements, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Probabilités et variables aléatoires (1ère techno) », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Indépendance de deux événements : le cours
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Si $P(A) \neq 0$, cela revient à dire que $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$. Attention : indépendants ne veut pas dire incompatibles ($A \cap B = \emptyset$).
Exemple
On lance un dé équilibré. $A$ : « obtenir un nombre pair » $= \{2 ; 4 ; 6\}$ et $B$ : « obtenir 1 ou 2 » $= \{1 ; 2\}$. $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ et $A \cap B = \{2\}$, donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. Comme $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$, $A$ et $B$ sont indépendants.
À retenir
$A$ et $B$ indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
S'entraîner sur indépendance de deux événements
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un QCM comporte 3 questions indépendantes. Chaque question propose 4 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question. 1) Construis l'arbre de la situation (J : réponse juste, F : réponse fausse). 2) Calcule la probabilité que l'élève ait les 3 réponses justes, puis exactement une réponse juste. 3) Soit $X$ le nombre de réponses justes. Donne la loi de $X$ et calcule $E(X)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un lycée, 40 % des élèves prennent le bus (événement $B$). Parmi les élèves qui prennent le bus, 25 % arrivent en retard au moins une fois par mois (événement $R$) ; parmi les autres élèves, 10 % arrivent en retard au moins une fois par mois. On choisit un élève au hasard. 1) Construis un arbre pondéré et calcule $P(R)$. 2) Les événements $B$ et $R$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités et variables aléatoires (1ère techno) (Mathématiques 1ère).