Formule des probabilités totales (cas simples) en 1ère
Formule des probabilités totales (cas simples), c'est une notion de mathématiques du chapitre « Probabilités et variables aléatoires (1ère techno) », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Formule des probabilités totales (cas simples) : le cours
Si $A$ et son contraire $\overline{A}$ partagent l'univers, alors pour tout événement $B$ : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$. Sur un arbre pondéré, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$ (la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches).
Exemple
Dans une usine, 30 % des pièces viennent de la machine A et 70 % de la machine B. 5 % des pièces de A et 2 % des pièces de B sont défectueuses. La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est $P(D) = 0{,}3 \times 0{,}05 + 0{,}7 \times 0{,}02 = 0{,}015 + 0{,}014 = 0{,}029$.
À retenir
$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$ : somme des probabilités des chemins qui mènent à $B$.
S'entraîner sur formule des probabilités totales (cas simples)
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un QCM comporte 3 questions indépendantes. Chaque question propose 4 réponses dont une seule est juste. Un élève répond au hasard à chaque question. 1) Construis l'arbre de la situation (J : réponse juste, F : réponse fausse). 2) Calcule la probabilité que l'élève ait les 3 réponses justes, puis exactement une réponse juste. 3) Soit $X$ le nombre de réponses justes. Donne la loi de $X$ et calcule $E(X)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Dans un lycée, 40 % des élèves prennent le bus (événement $B$). Parmi les élèves qui prennent le bus, 25 % arrivent en retard au moins une fois par mois (événement $R$) ; parmi les autres élèves, 10 % arrivent en retard au moins une fois par mois. On choisit un élève au hasard. 1) Construis un arbre pondéré et calcule $P(R)$. 2) Les événements $B$ et $R$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités et variables aléatoires (1ère techno) (Mathématiques 1ère).