Mesures et incertitudes : quelle variabilité dans le résultat d’une mesure ? en 1ère
Cours complet, points clés à retenir et exercices d'entraînement de mesures et incertitudes : quelle variabilité dans le résultat d’une mesure ? pour les élèves de 1ère. Conforme au programme officiel.
Réviser notion par notion
Ce que tu vas réviser
- Variabilité d’une série de mesures
- Valeur moyenne et écart type
- Incertitude-type
- Écriture du résultat d’une mesure
- Comparaison à une valeur de référence
Variabilité d'une série de mesures
Quand on mesure plusieurs fois la même chose, on n'obtient jamais exactement le même résultat. Cette différence entre les mesures s'appelle la variabilité. Elle existe toujours, même avec un bon instrument.
Exemple
Si tu mesures 10 fois la longueur d'une table avec une règle, tu ne vas jamais obtenir exactement 1,50 m à chaque fois : tu auras 1,498 m, puis 1,502 m, puis 1,501 m... Les petites différences viennent de la précision de l'instrument et du geste de mesure.
À retenir : La variabilité est inévitable : des mesures répétées ne donnent pas toutes le même résultat.
Valeur moyenne et écart type
La valeur moyenne est le centre de toutes tes mesures : tu additionnes tout et tu divises par le nombre de mesures. L'écart type mesure la dispersion des mesures, c'est-à-dire si tes mesures sont regroupées ou très dispersées.
Exemple
Tu pèses un gâteau 5 fois : 248 g, 250 g, 252 g, 249 g, 251 g. La moyenne est (248+250+252+249+251)/5 = 250 g. L'écart type (environ 1,6 g) te dit si tes mesures sont proches ou loin de 250 g.
À retenir : Moyenne = somme des mesures / nombre de mesures ; un petit écart type signifie des mesures regroupées, peu dispersées.
Incertitude-type et calcul
L'incertitude-type est un nombre qui quantifie l'imprécision de ta mesure : elle indique de combien la valeur mesurée peut raisonnablement s'écarter de la vraie valeur. On l'estime par l'écart-type d'une série de mesures, ou à partir des indications de la notice de l'instrument.
Exemple
Si un thermomètre digital affiche 36,8 °C et que son incertitude-type vaut u = 0,2 °C, la température a de bonnes chances d'être voisine de 36,8 °C, à quelques dixièmes de degré près. Plus l'incertitude est petite, plus la mesure est précise.
À retenir : L'incertitude-type u est estimée par l'écart-type de la série de mesures, ou donnée par la notice (le fabricant) de l'instrument.
Écriture correcte d'un résultat
On n'écrit jamais un résultat de mesure tout seul. Il faut toujours l'écrire avec son incertitude sous la forme : valeur ± incertitude, avec les bonnes unités et le bon nombre de chiffres significatifs.
Exemple
Au lieu d'écrire « la longueur est 1,50347 m », on écrit « la longueur est (1,50 ± 0,02) m ». Cela signifie que la longueur vaut 1,50 m à quelques centimètres près. Les chiffres trop précis n'ont pas de sens vu l'incertitude.
À retenir : Résultat = (valeur mesurée ± incertitude) unité, avec seulement les chiffres significatifs pertinents.
Comparaison à une valeur de référence
Une valeur de référence (ou théorique) est une valeur qu'on trouve dans les tables ou qu'on calcule. On la compare à ta mesure pour voir si ta manipulation est correcte ou s'il existe une erreur systématique.
Exemple
Tu mesures l'intensité de la pesanteur et tu trouves g = (9,85 ± 0,15) N/kg. La valeur de référence est g = 9,81 N/kg. L'écart, 9,85 − 9,81 = 0,04 N/kg, est bien plus petit que l'incertitude (0,15 N/kg) : ta mesure est compatible avec la référence. Si tu avais trouvé (9,20 ± 0,15) N/kg, l'écart (0,61 N/kg) vaudrait environ quatre fois l'incertitude : la mesure ne serait pas compatible et il faudrait chercher une erreur.
À retenir : On compare l'écart $|x_{mes} - x_{ref}|$ à l'incertitude-type u : s'il est du même ordre ou plus petit, la mesure est compatible avec la référence ; s'il vaut plusieurs fois l'incertitude, elle ne l'est pas.
Les points clés
- Aucune mesure n'est parfaite : il y a toujours une variabilité due à l'instrument et au manipulateur
- Moyenne = $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ ; écart-type expérimental = $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$ (valeur « σn−1 » de la calculatrice)
- Incertitude-type u : estimée par l'écart-type s de la série de mesures, ou donnée par la notice de l'instrument
- Écrire toujours le résultat sous forme : Résultat = $(\text{valeur} \pm \text{incertitude})$ unité
- Comparer à la référence : si l'écart $|\text{mesure} - \text{référence}|$ est du même ordre que l'incertitude-type ou plus petit, la mesure est compatible ; s'il vaut plusieurs incertitudes-types, elle ne l'est pas
L'essentiel
Toute mesure est entachée d'incertitude : il faut l'exprimer clairement sous la forme (valeur ± incertitude) pour qu'elle soit utile.
Exercices d'entraînement
Entraîne-toi sur ces exercices, puis fais-toi corriger pas à pas par le tuteur.
Exercice 1
Tu mesures la masse d'une pièce de monnaie 6 fois et tu obtiens : 7,48 g ; 7,51 g ; 7,49 g ; 7,50 g ; 7,48 g ; 7,52 g. Calcule la valeur moyenne et l'écart-type, que l'on prendra comme incertitude-type. La masse de référence est 7,50 g. Écris ton résultat sous la forme (valeur ± incertitude) et conclus.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un voltmètre affiche une tension de 12,4 V. Le fabricant indique une incertitude-type de 0,3 V. La tension théorique (trouvée dans le schéma) est 12,0 V. Écris le résultat avec son incertitude et dis si la mesure est cohérente avec la théorie.
Corrige cet exercice avec le tuteur →