Équations différentielles y' = ay et y' = ay + b en Terminale
Équations différentielles y' = ay et y' = ay + b, c'est une notion de physique-chimie et mathématiques du chapitre « Équations différentielles et modélisation », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Équations différentielles y' = ay et y' = ay + b : le cours
Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$. Résoudre, c'est trouver toutes les fonctions qui la vérifient. Au programme : $y' = ay$ et $y' = ay + b$, où $a$ (non nul) et $b$ sont des constantes réelles.
Exemple
La loi de décroissance radioactive s'écrit $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$ : c'est une équation du type $y' = ay$ avec $a = -\lambda$. La loi de refroidissement de Newton $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb})$ est du type $y' = ay + b$ avec $a = -k$ et $b = kT_{amb}$.
À retenir
Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $y(x) = Ce^{ax}$ ($C$ réel). Les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions $y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ ($C$ réel).
S'entraîner sur équations différentielles y' = ay et y' = ay + b
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un condensateur de capacité C = 1 µF se décharge dans une résistance R = 10 kΩ. La tension initiale est U₀ = 10 V. Écris l'équation différentielle et trouve U(t). Calcule la tension après t = 0,1 s.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un objet chaud à 80 °C est placé dans une pièce à 20 °C. La loi de Newton dit que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence de température : $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb})$ avec k = 0,1 min⁻¹. Trouve T(t) et calcule la température après 10 minutes.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Équations différentielles et modélisation (Physique-Chimie et Mathématiques Terminale).