Résolution d'équations exponentielles simples en Terminale
Résolution d'équations exponentielles simples, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle et logarithme appliqués », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Résolution d'équations exponentielles simples : le cours
Pour résoudre $q^x = a$ (avec $a > 0$), on applique le logarithme décimal aux deux membres : $\log(q^x) = \log(a)$, soit $x \log(q) = \log(a)$, donc $x = \frac{\log(a)}{\log(q)}$. On peut aussi résoudre graphiquement ou avec un tableur.
Exemple
Une population de 1000 bactéries double chaque heure. Elle atteint 10000 quand $1000 \times 2^t = 10000$, soit $2^t = 10$, donc $t = \frac{\log(10)}{\log(2)} = \frac{1}{\log(2)} \approx 3{,}32$ heures.
À retenir
$q^x = a \iff x = \frac{\log(a)}{\log(q)}$. Pour une inéquation $q^x \geq a$ : si $q > 1$, $x \geq \frac{\log(a)}{\log(q)}$ ; si $0 < q < 1$, le sens de l'inégalité change.
S'entraîner sur résolution d'équations exponentielles simples
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un placement de 5000 euros est effectué à un taux d'intérêt composé de 3 % par an. Quel sera le capital après 10 ans ? Utilise la formule $C(t) = C_0 \times (1 + r)^t$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une substance radioactive a une demi-vie de 8 jours. On en possède 100 grammes au départ. Combien en reste-t-il après 24 jours ? Utilise la formule $N(t) = N_0 \times (\frac{1}{2})^{t/T}$ où $T$ est la demi-vie.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle et logarithme appliqués (Mathématiques Terminale).