Modélisation d'une décroissance (radioactivité, refroidissement) en Terminale
Modélisation d'une décroissance (radioactivité, refroidissement), c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle et logarithme appliqués », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Modélisation d'une décroissance (radioactivité, refroidissement) : le cours
Une grandeur qui perd toujours le même pourcentage sur des durées égales est modélisée par une fonction exponentielle de base $q$ avec $0 < q < 1$. Pour une substance radioactive de demi-vie $T$ : $N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$. Pour un objet qui refroidit, c'est l'écart avec la température de la pièce qui est multiplié par $q$ à chaque unité de temps : $T(t) = T_{\text{pièce}} + (T_0 - T_{\text{pièce}}) \times q^t$.
Exemple
Le carbone 14 a une demi-vie d'environ 5730 ans : la moitié des noyaux a disparu au bout de 5730 ans, les trois quarts au bout de 11460 ans. Un café à 80 °C dans une pièce à 20 °C, dont l'écart de température est multiplié par 0,9 chaque minute, est à $20 + 60 \times 0{,}9^{5} \approx 55{,}4$ °C au bout de 5 minutes.
À retenir
Dans une décroissance exponentielle, la quantité est multipliée par le même nombre (compris entre 0 et 1) sur des intervalles de temps égaux.
S'entraîner sur modélisation d'une décroissance (radioactivité, refroidissement)
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un placement de 5000 euros est effectué à un taux d'intérêt composé de 3 % par an. Quel sera le capital après 10 ans ? Utilise la formule $C(t) = C_0 \times (1 + r)^t$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une substance radioactive a une demi-vie de 8 jours. On en possède 100 grammes au départ. Combien en reste-t-il après 24 jours ? Utilise la formule $N(t) = N_0 \times (\frac{1}{2})^{t/T}$ où $T$ est la demi-vie.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle et logarithme appliqués (Mathématiques Terminale).