Valeur approchée d'une solution par balayage en Terminale
Valeur approchée d'une solution par balayage, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation et applications professionnelles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Valeur approchée d'une solution par balayage : le cours
Quand on sait qu'une équation $f(x) = c$ a une seule solution $\alpha$ sur un intervalle où $f$ est croissante (ou décroissante), on l'encadre par balayage : on calcule $f$ pour des valeurs de $x$ régulièrement espacées (pas de 1, puis 0,1, puis 0,01…), avec la calculatrice ou un tableur, et on repère entre quelles valeurs $f(x) - c$ change de signe.
Exemple
$f(x) = x^3 - 3x$ et $f(x) = 5$ sur $[1 ; 3]$ ($f$ croissante). Pas de 1 : $f(2) = 2$ et $f(3) = 18$, donc $2 < \alpha < 3$. Pas de 0,1 : $f(2{,}2) = 4{,}048$ et $f(2{,}3) = 5{,}267$, donc $2{,}2 < \alpha < 2{,}3$. Pas de 0,01 : $f(2{,}27) \approx 4{,}887$ et $f(2{,}28) \approx 5{,}012$, donc $2{,}27 < \alpha < 2{,}28$.
À retenir
Balayage : on resserre l'encadrement en diminuant le pas jusqu'à la précision voulue.
S'entraîner sur valeur approchée d'une solution par balayage
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Combien l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle de solutions sur $[-2 ; 3]$ ? d) Donner un encadrement de cette solution d'amplitude 0,1 par balayage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On découpe quatre carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ pour $x \in [0 ; 15]$. a) Calculer $V'(x)$ et vérifier que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. b) Étudier le signe de $V'(x)$ sur $[0 ; 15]$ et dresser le tableau de variations. c) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation et applications professionnelles (Mathématiques Terminale).