Extremums locaux ; une dérivée nulle ne suffit pas en Terminale
Extremums locaux ; une dérivée nulle ne suffit pas, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation et applications professionnelles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Extremums locaux ; une dérivée nulle ne suffit pas : le cours
Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f'$ passe de positive à négative, un minimum si elle passe de négative à positive. En revanche, $f'(a) = 0$ ne suffit pas : pour la fonction cube, $f'(0) = 0$ mais $f'$ ne change pas de signe ($3x^2 \geq 0$), et $f$ n'a pas d'extremum en 0.
Exemple
Pour $f(x) = x^3 - 3x$, $f'$ s'annule en $-1$ en passant de positive à négative : maximum local $f(-1) = 2$. Elle s'annule en 1 en passant de négative à positive : minimum local $f(1) = -2$. En contexte, on cherche ainsi une production qui rend un bénéfice maximal ou un coût minimal.
À retenir
Extremum local en $a$ ⇔ $f'$ s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE en $a$ ; contre-exemple : $x \mapsto x^3$ en 0.
S'entraîner sur extremums locaux ; une dérivée nulle ne suffit pas
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Combien l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle de solutions sur $[-2 ; 3]$ ? d) Donner un encadrement de cette solution d'amplitude 0,1 par balayage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On découpe quatre carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ pour $x \in [0 ; 15]$. a) Calculer $V'(x)$ et vérifier que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. b) Étudier le signe de $V'(x)$ sur $[0 ; 15]$ et dresser le tableau de variations. c) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation et applications professionnelles (Mathématiques Terminale).