Fonction cube en Terminale
Fonction cube, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation et applications professionnelles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Fonction cube : le cours
La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$. Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2$, qui est positive ou nulle pour tout $x$ (et nulle seulement en 0) : la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par l'origine, elle est symétrique par rapport à l'origine du repère, et sa tangente en l'origine est horizontale (l'axe des abscisses).
Exemple
Quelques valeurs : $(-2)^3 = -8$, $(-1)^3 = -1$, $0^3 = 0$, $1^3 = 1$, $2^3 = 8$. Le volume d'un cube d'arête $x$ cm est $x^3$ cm³ : doubler l'arête multiplie le volume par 8.
À retenir
$(x^3)' = 3x^2$ ; la fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$.
S'entraîner sur fonction cube
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Combien l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle de solutions sur $[-2 ; 3]$ ? d) Donner un encadrement de cette solution d'amplitude 0,1 par balayage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On découpe quatre carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ pour $x \in [0 ; 15]$. a) Calculer $V'(x)$ et vérifier que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. b) Étudier le signe de $V'(x)$ sur $[0 ; 15]$ et dresser le tableau de variations. c) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation et applications professionnelles (Mathématiques Terminale).