Tableau de variations à partir du signe de la dérivée en Terminale
Tableau de variations à partir du signe de la dérivée, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation et applications professionnelles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Tableau de variations à partir du signe de la dérivée : le cours
Sur un intervalle : si $f'(x) > 0$ (sauf éventuellement en des points isolés où elle s'annule), $f$ est croissante ; si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante. On étudie donc le signe de $f'(x)$ (affine : signe de $ax + b$ ; second degré : à l'aide d'une forme factorisée, par exemple), puis on dresse le tableau de variations en indiquant les valeurs de $f$ aux bornes et aux points où $f'$ change de signe.
Exemple
$f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$ : $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. $f'(x) > 0$ sur $[-2 ; -1[$ et sur $]1 ; 3]$, $f'(x) < 0$ sur $]-1 ; 1[$. Donc $f$ est croissante sur $[-2 ; -1]$, décroissante sur $[-1 ; 1]$, croissante sur $[1 ; 3]$, avec $f(-2) = -2$, $f(-1) = 2$, $f(1) = -2$, $f(3) = 18$.
À retenir
Signe de $f'$ ⇒ sens de variation de $f$ ; on complète le tableau avec les valeurs de $f$.
S'entraîner sur tableau de variations à partir du signe de la dérivée
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Combien l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle de solutions sur $[-2 ; 3]$ ? d) Donner un encadrement de cette solution d'amplitude 0,1 par balayage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On découpe quatre carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ pour $x \in [0 ; 15]$. a) Calculer $V'(x)$ et vérifier que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. b) Étudier le signe de $V'(x)$ sur $[0 ; 15]$ et dresser le tableau de variations. c) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation et applications professionnelles (Mathématiques Terminale).