Nombre de solutions d'une équation $f(x) = c$ en Terminale
Nombre de solutions d'une équation $f(x) = c$, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation et applications professionnelles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Nombre de solutions d'une équation $f(x) = c$ : le cours
Le tableau de variations permet de déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = c$ : sur chaque intervalle où $f$ est strictement monotone, on regarde si $c$ est compris entre les valeurs de $f$ aux extrémités de l'intervalle. Si oui, l'équation a une seule solution sur cet intervalle ; sinon, elle n'en a pas.
Exemple
Avec $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$ : pour $c = 1$, on a $-2 \leq 1 \leq 2$ sur $[-2 ; -1]$, $-2 \leq 1 \leq 2$ sur $[-1 ; 1]$ et $-2 \leq 1 \leq 18$ sur $[1 ; 3]$ : l'équation $f(x) = 1$ a 3 solutions. Pour $c = 5$, seul l'intervalle $[1 ; 3]$ convient (car $5 > 2$) : une seule solution.
À retenir
Une solution par intervalle de monotonie stricte sur lequel $c$ est atteint.
S'entraîner sur nombre de solutions d'une équation $f(x) = c$
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Combien l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle de solutions sur $[-2 ; 3]$ ? d) Donner un encadrement de cette solution d'amplitude 0,1 par balayage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On découpe quatre carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ pour $x \in [0 ; 15]$. a) Calculer $V'(x)$ et vérifier que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. b) Étudier le signe de $V'(x)$ sur $[0 ; 15]$ et dresser le tableau de variations. c) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation et applications professionnelles (Mathématiques Terminale).