Dérivée d'une fonction polynôme de degré au plus 3 en Terminale
Dérivée d'une fonction polynôme de degré au plus 3, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Dérivation et applications professionnelles », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Dérivée d'une fonction polynôme de degré au plus 3 : le cours
On utilise les dérivées usuelles : la dérivée d'une constante est 0, celle de $x$ est 1, celle de $x^2$ est $2x$, celle de $x^3$ est $3x^2$. Règles : la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée de $k \times u$ ($k$ constante) est $k \times u'$.
Exemple
$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ a pour dérivée $f'(x) = 2 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 4 = 6x^2 - 10x + 4$. $C(x) = 0{,}5x^2 + 10x + 200$ a pour dérivée $C'(x) = x + 10$.
À retenir
$(ax^3 + bx^2 + cx + d)' = 3ax^2 + 2bx + c$.
S'entraîner sur dérivée d'une fonction polynôme de degré au plus 3
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x^3 - 3x$ sur $[-2 ; 3]$. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Combien l'équation $f(x) = 5$ a-t-elle de solutions sur $[-2 ; 3]$ ? d) Donner un encadrement de cette solution d'amplitude 0,1 par balayage.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
On découpe quatre carrés de côté $x$ cm aux coins d'une plaque carrée de 30 cm de côté, puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$ pour $x \in [0 ; 15]$. a) Calculer $V'(x)$ et vérifier que $V'(x) = 12(x - 5)(x - 15)$. b) Étudier le signe de $V'(x)$ sur $[0 ; 15]$ et dresser le tableau de variations. c) Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Quel est ce volume ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Dérivation et applications professionnelles (Mathématiques Terminale).