Variations et courbes représentatives en Terminale
Variations et courbes représentatives, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions sinus et cosinus », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Variations et courbes représentatives : le cours
On étudie les variations sur $[-\pi ; \pi]$ grâce au signe des dérivées. Sur $[0 ; \pi]$, $\sin x \geq 0$, donc $\cos' = -\sin \leq 0$ : cosinus est décroissante de 1 à $-1$ ; sur $[-\pi ; 0]$, elle est croissante de $-1$ à 1. Sur $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos x \geq 0$, donc sinus est croissante de $-1$ à 1 ; elle est décroissante sur $\left[-\pi ; -\frac{\pi}{2}\right]$ (de 0 à $-1$) et sur $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right]$ (de 1 à 0). Les courbes sont des sinusoïdes, comprises entre les droites d'équations $y = -1$ et $y = 1$.
Exemple
Valeurs utiles : $\cos 0 = 1$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos \pi = -1$ ; $\sin 0 = 0$, $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{2} = 1$. La courbe du cosinus passe par $(0 ; 1)$, celle du sinus par l'origine ; la courbe du cosinus se déduit de celle du sinus par une translation de $\frac{\pi}{2}$ vers la gauche, car $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.
À retenir
Sur $[0 ; \pi]$ : cos décroît de 1 à $-1$. Sur $\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ : sin croît de $-1$ à 1.
S'entraîner sur variations et courbes représentatives
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x - 2\sin x$ sur $[-\pi ; \pi]$. a) Résoudre sur $[-\pi ; \pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \frac{1}{2}$. b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux (valeurs exactes puis approchées au centième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : un côté est posé sur le diamètre, et les deux autres sommets sont sur le demi-cercle, aux points de coordonnées $(\cos \theta ; \sin \theta)$ et $(-\cos \theta ; \sin \theta)$ dans un repère orthonormé centré au milieu du diamètre, avec $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. a) Montrer que l'aire du rectangle est $A(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$. b) Montrer que $A'(\theta) = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$. c) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions sinus et cosinus (Mathématiques Terminale).