Résolution de problèmes, notamment géométriques en Terminale
Résolution de problèmes, notamment géométriques, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions sinus et cosinus », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Résolution de problèmes, notamment géométriques : le cours
Dans un problème géométrique, on choisit souvent un angle $\theta$ comme variable : les longueurs s'expriment alors avec $\cos \theta$ et $\sin \theta$, et la grandeur à optimiser (aire, périmètre, longueur) devient une fonction de $\theta$ que l'on étudie sur l'intervalle imposé par la figure.
Exemple
Un triangle isocèle a deux côtés de longueur 1 qui forment un angle $\theta \in ]0 ; \pi[$. Sa hauteur relative à l'un de ces côtés vaut $\sin \theta$, donc son aire est $A(\theta) = \frac{1}{2}\sin \theta$. $A'(\theta) = \frac{1}{2}\cos \theta$ est positive sur $\left]0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ et négative sur $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$ : l'aire est maximale pour $\theta = \frac{\pi}{2}$ (triangle rectangle), et vaut alors $\frac{1}{2}$.
À retenir
Exprimer les longueurs en fonction d'un angle, puis étudier la fonction obtenue sur le bon intervalle.
S'entraîner sur résolution de problèmes, notamment géométriques
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x - 2\sin x$ sur $[-\pi ; \pi]$. a) Résoudre sur $[-\pi ; \pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \frac{1}{2}$. b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux (valeurs exactes puis approchées au centième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : un côté est posé sur le diamètre, et les deux autres sommets sont sur le demi-cercle, aux points de coordonnées $(\cos \theta ; \sin \theta)$ et $(-\cos \theta ; \sin \theta)$ dans un repère orthonormé centré au milieu du diamètre, avec $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. a) Montrer que l'aire du rectangle est $A(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$. b) Montrer que $A'(\theta) = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$. c) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions sinus et cosinus (Mathématiques Terminale).