Dérivées des fonctions sinus et cosinus en Terminale
Dérivées des fonctions sinus et cosinus, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions sinus et cosinus », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Dérivées des fonctions sinus et cosinus : le cours
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$, avec $\sin' = \cos$ et $\cos' = -\sin$. Avec la dérivée d'une composée, pour des réels $a$ et $b$ : la dérivée de $x \mapsto \sin(ax + b)$ est $x \mapsto a\cos(ax + b)$ et celle de $x \mapsto \cos(ax + b)$ est $x \mapsto -a\sin(ax + b)$.
Exemple
Si $f(x) = 3\sin(x) + \cos(x)$, alors $f'(x) = 3\cos(x) - \sin(x)$. Si $g(x) = \cos(2x)$, alors $g'(x) = -2\sin(2x)$.
À retenir
$(\sin x)' = \cos x$ ; $(\cos x)' = -\sin x$ ; $(\cos(ax + b))' = -a\sin(ax + b)$.
S'entraîner sur dérivées des fonctions sinus et cosinus
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x - 2\sin x$ sur $[-\pi ; \pi]$. a) Résoudre sur $[-\pi ; \pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \frac{1}{2}$. b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux (valeurs exactes puis approchées au centième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : un côté est posé sur le diamètre, et les deux autres sommets sont sur le demi-cercle, aux points de coordonnées $(\cos \theta ; \sin \theta)$ et $(-\cos \theta ; \sin \theta)$ dans un repère orthonormé centré au milieu du diamètre, avec $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. a) Montrer que l'aire du rectangle est $A(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$. b) Montrer que $A'(\theta) = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$. c) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions sinus et cosinus (Mathématiques Terminale).