Étudier une fonction construite à partir de sin et cos en Terminale
Étudier une fonction construite à partir de sin et cos, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions sinus et cosinus », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Étudier une fonction construite à partir de sin et cos : le cours
Pour étudier une fonction comme $f(x) = x - 2\sin x$ ou $g(x) = \cos(2x)$ : 1) calculer la dérivée ; 2) étudier son signe, souvent en se ramenant à une inéquation du type $\cos x \leq a$ ; 3) dresser le tableau de variations ; 4) en déduire les extremums (optimum).
Exemple
$g(x) = \cos(2x)$ sur $\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$ : $g'(x) = -2\sin(2x)$. Pour $x \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$, $2x \in [0 ; \pi]$ donc $\sin(2x) \geq 0$ et $g'(x) \leq 0$ : $g$ est décroissante, de $g(0) = 1$ à $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos \pi = -1$.
À retenir
Dérivée, signe (inéquation trigonométrique), tableau de variations, extremums.
S'entraîner sur étudier une fonction construite à partir de sin et cos
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x - 2\sin x$ sur $[-\pi ; \pi]$. a) Résoudre sur $[-\pi ; \pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \frac{1}{2}$. b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux (valeurs exactes puis approchées au centième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : un côté est posé sur le diamètre, et les deux autres sommets sont sur le demi-cercle, aux points de coordonnées $(\cos \theta ; \sin \theta)$ et $(-\cos \theta ; \sin \theta)$ dans un repère orthonormé centré au milieu du diamètre, avec $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. a) Montrer que l'aire du rectangle est $A(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$. b) Montrer que $A'(\theta) = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$. c) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions sinus et cosinus (Mathématiques Terminale).