Résoudre $\cos x = a$ et $\cos x \leq a$ sur $[-\pi ; \pi]$ en Terminale
Résoudre $\cos x = a$ et $\cos x \leq a$ sur $[-\pi ; \pi]$, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions sinus et cosinus », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Résoudre $\cos x = a$ et $\cos x \leq a$ sur $[-\pi ; \pi]$ : le cours
Sur $[-\pi ; \pi]$, pour $-1 < a < 1$, l'équation $\cos x = a$ a exactement deux solutions opposées $x_0$ et $-x_0$, où $x_0$ est l'unique solution dans $]0 ; \pi[$ (cosinus est strictement décroissante sur $[0 ; \pi]$). Pour $a = 1$, la seule solution est 0 ; pour $a = -1$, les solutions sont $-\pi$ et $\pi$. Pour l'inéquation, on lit le cercle trigonométrique ou la courbe : $\cos x \leq a$ correspond aux points dont l'abscisse est inférieure ou égale à $a$.
Exemple
$\cos x = \frac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ : $x = -\frac{\pi}{3}$ ou $x = \frac{\pi}{3}$. $\cos x \leq \frac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ : $x \in \left[-\pi ; -\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3} ; \pi\right]$. $\cos x > \frac{1}{2}$ : $x \in \left]-\frac{\pi}{3} ; \frac{\pi}{3}\right[$.
À retenir
Une solution $x_0$ dans $[0 ; \pi]$ donne l'autre, $-x_0$, par parité ; l'inéquation se lit sur le cercle ou la courbe.
S'entraîner sur résoudre $\cos x = a$ et $\cos x \leq a$ sur $[-\pi ; \pi]$
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x - 2\sin x$ sur $[-\pi ; \pi]$. a) Résoudre sur $[-\pi ; \pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \frac{1}{2}$. b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux (valeurs exactes puis approchées au centième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : un côté est posé sur le diamètre, et les deux autres sommets sont sur le demi-cercle, aux points de coordonnées $(\cos \theta ; \sin \theta)$ et $(-\cos \theta ; \sin \theta)$ dans un repère orthonormé centré au milieu du diamètre, avec $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. a) Montrer que l'aire du rectangle est $A(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$. b) Montrer que $A'(\theta) = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$. c) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions sinus et cosinus (Mathématiques Terminale).