Périodicité et parité (rappel de 1re) en Terminale
Périodicité et parité (rappel de 1re), c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonctions sinus et cosinus », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Périodicité et parité (rappel de 1re) : le cours
Pour tout réel $x$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ : les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$. De plus $\cos(-x) = \cos x$ (cosinus est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et $\sin(-x) = -\sin x$ (sinus est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine).
Exemple
Grâce à la périodicité, il suffit d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur $2\pi$, comme $[-\pi ; \pi]$ ; grâce à la parité, il suffit même d'étudier sur $[0 ; \pi]$ puis de compléter par symétrie. Par exemple $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi\right) = \frac{1}{2}$.
À retenir
Période $2\pi$ ; cos paire, sin impaire.
S'entraîner sur périodicité et parité (rappel de 1re)
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
On considère $f(x) = x - 2\sin x$ sur $[-\pi ; \pi]$. a) Résoudre sur $[-\pi ; \pi]$ l'inéquation $\cos x \leq \frac{1}{2}$. b) Calculer $f'(x)$ et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de $f$ et donner ses extremums locaux (valeurs exactes puis approchées au centième).
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Un rectangle est inscrit dans un demi-disque de rayon 1 : un côté est posé sur le diamètre, et les deux autres sommets sont sur le demi-cercle, aux points de coordonnées $(\cos \theta ; \sin \theta)$ et $(-\cos \theta ; \sin \theta)$ dans un repère orthonormé centré au milieu du diamètre, avec $\theta \in \left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]$. a) Montrer que l'aire du rectangle est $A(\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$. b) Montrer que $A'(\theta) = 2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$. c) En déduire la valeur de $\theta$ pour laquelle l'aire est maximale, et cette aire maximale.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions sinus et cosinus (Mathématiques Terminale).