Résoudre une équation ou une inéquation avec le logarithme en Terminale
Résoudre une équation ou une inéquation avec le logarithme, c'est une notion de mathématiques spécifiques du chapitre « Fonction logarithme et exponentielle », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Résoudre une équation ou une inéquation avec le logarithme : le cours
Pour résoudre $a^x = b$ (avec $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$), on applique $\log$ aux deux membres : $x \log(a) = \log(b)$. Pour une inéquation, on divise par $\log(a)$ en changeant le sens de l'inégalité si $\log(a) < 0$, c'est-à-dire si $0 < a < 1$.
Exemple
$1{,}05^x = 2$ donne $x = \frac{\log(2)}{\log(1{,}05)} \approx 14{,}2$. Pour $0{,}8^n < 0{,}1$ : $n \log(0{,}8) < \log(0{,}1)$, et comme $\log(0{,}8) < 0$, $n > \frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}8)} \approx 10{,}3$, donc $n \geq 11$ si $n$ est entier.
À retenir
$a^x = b \iff x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$. Attention au sens de l'inégalité quand on divise par un logarithme négatif.
S'entraîner sur résoudre une équation ou une inéquation avec le logarithme
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un capital de 5 000 euros est placé à un taux annuel de 3 % avec intérêts composés. Quel sera le capital après 10 ans ? Au bout de combien d'années entières le capital aura-t-il doublé ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
La population d'une ville est passée de 40 000 à 50 000 habitants en 6 ans. 1) Calculer le taux d'évolution annuel moyen. 2) On suppose que ce taux reste le même. Au bout de combien d'années entières la population, partie de 50 000 habitants, dépassera-t-elle 60 000 habitants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction logarithme et exponentielle (Mathématiques spécifiques Terminale).