Fonctions exponentielles et propriétés en Terminale
Fonctions exponentielles et propriétés, c'est une notion de mathématiques spécifiques du chapitre « Fonction logarithme et exponentielle », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Fonctions exponentielles et propriétés : le cours
Pour un réel $a > 0$, la fonction exponentielle de base $a$ est $x \mapsto a^x$, définie pour tout réel $x$. Elle prolonge aux exposants non entiers la suite géométrique $(a^n)$ : elle modélise une évolution continue à taux constant. Elle est croissante si $a > 1$, décroissante si $0 < a < 1$, constante si $a = 1$ ; ses valeurs sont toujours strictement positives.
Exemple
Un prix qui augmente de 2 % par an est multiplié par $1{,}02$ chaque année : au bout de $x$ années (même non entier), il est multiplié par $1{,}02^x$. Au bout d'un an et demi : $1{,}02^{1{,}5} \approx 1{,}030$, soit environ +3 %.
À retenir
$a^{x+y} = a^x \times a^y$ ; $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$ ; $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ ; $a^{nx} = (a^x)^n$ ; $a^0 = 1$. La fonction $x \mapsto k a^x$ avec $k > 0$ a le même sens de variation que $x \mapsto a^x$.
S'entraîner sur fonctions exponentielles et propriétés
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Un capital de 5 000 euros est placé à un taux annuel de 3 % avec intérêts composés. Quel sera le capital après 10 ans ? Au bout de combien d'années entières le capital aura-t-il doublé ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
La population d'une ville est passée de 40 000 à 50 000 habitants en 6 ans. 1) Calculer le taux d'évolution annuel moyen. 2) On suppose que ce taux reste le même. Au bout de combien d'années entières la population, partie de 50 000 habitants, dépassera-t-elle 60 000 habitants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction logarithme et exponentielle (Mathématiques spécifiques Terminale).