Lien avec le triangle rectangle en 1ère
Lien avec le triangle rectangle, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Trigonométrie », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Lien avec le triangle rectangle : le cours
Soit $x$ un réel tel que $0 < x < \frac{\pi}{2}$ et $M$ son image, située dans le premier quart du cercle. Notons $H$ le pied de la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, son hypoténuse est $OM = 1$ et l'angle $\widehat{HOM}$ mesure $x$ radians. Donc $\cos x = \frac{OH}{OM} = OH$ et $\sin x = \frac{HM}{OM} = HM$ : on retrouve le cosinus (côté adjacent sur hypoténuse) et le sinus (côté opposé sur hypoténuse) du collège.
Exemple
Dans un triangle rectangle ayant un angle de 60°, le côté adjacent à cet angle mesure la moitié de l'hypoténuse (c'est un demi-triangle équilatéral), donc le cosinus de l'angle vaut $\frac{1}{2}$. Comme 60° correspond à $\frac{\pi}{3}$ rad, on a $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ : l'image de $\frac{\pi}{3}$ sur le cercle a pour abscisse $\frac{1}{2}$.
À retenir
Pour un angle aigu, le cosinus et le sinus du réel (mesure en radians) sont ceux de l'angle dans un triangle rectangle ; la définition par le cercle les prolonge à tous les nombres réels.
S'entraîner sur lien avec le triangle rectangle
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Convertis 150° en radians, puis $\frac{5\pi}{4}$ rad en degrés. 2) Sur un cercle de rayon 4 cm, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\frac{\pi}{3}$ rad ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi au millimètre.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
1) Justifie que les réels $\frac{13\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$ ont la même image sur le cercle trigonométrique. 2) En déduire $\cos \frac{13\pi}{6}$ et $\sin \frac{13\pi}{6}$. 3) Quelle est l'image du réel $-\frac{\pi}{2}$ ? Donne $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Trigonométrie (Mathématiques 1ère).