Enroulement de la droite des réels sur le cercle en 1ère
Enroulement de la droite des réels sur le cercle, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Trigonométrie », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Enroulement de la droite des réels sur le cercle : le cours
On trace la droite graduée tangente au cercle trigonométrique au point $I(1 ; 0)$, avec son origine en $I$ et orientée vers le haut, puis on l'« enroule » autour du cercle : les nombres positifs dans le sens direct, les nombres négatifs dans le sens indirect. Chaque réel $x$ vient se placer sur un unique point $M$ du cercle, appelé image de $x$. Comme le périmètre du cercle vaut $2\pi$, les réels $x$ et $x + 2k\pi$ ($k$ entier relatif) ont la même image.
Exemple
L'image de $\pi$ (un demi-tour) est le point de coordonnées $(-1 ; 0)$. L'image de $\frac{\pi}{2}$ est le point $J(0 ; 1)$ et celle de $-\frac{\pi}{2}$ est le point $(0 ; -1)$. Les réels $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ et $-\frac{3\pi}{2}$ ont tous pour image $J$, car $\frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 2\pi$ et $-\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -2\pi$.
À retenir
Chaque réel a une seule image sur le cercle trigonométrique ; chaque point du cercle est l'image d'une infinité de réels, qui diffèrent entre eux d'un multiple de $2\pi$.
S'entraîner sur enroulement de la droite des réels sur le cercle
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Convertis 150° en radians, puis $\frac{5\pi}{4}$ rad en degrés. 2) Sur un cercle de rayon 4 cm, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\frac{\pi}{3}$ rad ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi au millimètre.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
1) Justifie que les réels $\frac{13\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$ ont la même image sur le cercle trigonométrique. 2) En déduire $\cos \frac{13\pi}{6}$ et $\sin \frac{13\pi}{6}$. 3) Quelle est l'image du réel $-\frac{\pi}{2}$ ? Donne $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Trigonométrie (Mathématiques 1ère).