Cercle trigonométrique, longueur d'arc et radian en 1ère
Cercle trigonométrique, longueur d'arc et radian, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Trigonométrie », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Cercle trigonométrique, longueur d'arc et radian : le cours
Dans un repère orthonormé d'origine O, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). Le radian est l'unité d'angle telle qu'un angle au centre de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon. Sur un cercle de rayon $R$, un angle au centre de $\alpha$ radians intercepte un arc de longueur $L = R \times \alpha$ : sur le cercle trigonométrique ($R = 1$), la longueur de l'arc est égale à la mesure de l'angle en radians.
Exemple
Le périmètre du cercle trigonométrique vaut $2\pi \times 1 = 2\pi$ : un tour complet correspond à $2\pi$ radians, soit 360°. Un quart de tour intercepte un arc de longueur $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, donc mesure $\frac{\pi}{2}$ rad, soit 90°. Sur une roue de rayon 30 cm, un angle au centre de 2 rad intercepte un arc de $30 \times 2 = 60$ cm.
À retenir
$\pi$ rad = 180°. Pour convertir, on utilise la proportionnalité : $x$ degrés = $\frac{x \times \pi}{180}$ rad. Sur un cercle de rayon $R$, longueur d'arc = $R \times \alpha$ (avec $\alpha$ en radians).
S'entraîner sur cercle trigonométrique, longueur d'arc et radian
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Convertis 150° en radians, puis $\frac{5\pi}{4}$ rad en degrés. 2) Sur un cercle de rayon 4 cm, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle au centre de $\frac{\pi}{3}$ rad ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi au millimètre.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
1) Justifie que les réels $\frac{13\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{6}$ ont la même image sur le cercle trigonométrique. 2) En déduire $\cos \frac{13\pi}{6}$ et $\sin \frac{13\pi}{6}$. 3) Quelle est l'image du réel $-\frac{\pi}{2}$ ? Donne $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ et $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Trigonométrie (Mathématiques 1ère).