Répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli indépendantes en 1ère
Répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli indépendantes, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Probabilités conditionnelles », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli indépendantes : le cours
Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès, de probabilité $p$, et échec, de probabilité $1 - p$. En répétant $n$ fois ($n \leq 4$) la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante, on construit un arbre à $n$ niveaux. Un chemin comportant $k$ succès et $n - k$ échecs a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n - k}$ ; pour obtenir la probabilité de « exactement $k$ succès », on compte sur l'arbre les chemins concernés et on additionne leurs probabilités.
Exemple
On lance $3$ fois un dé équilibré ; succès : « obtenir $6$ », donc $p = \frac{1}{6}$. Exactement un $6$ : $3$ chemins (SEE, ESE, EES, où S désigne un succès et E un échec), d'où une probabilité $3 \times \frac{1}{6} \times \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$. Au moins un $6$ : $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$.
À retenir
Un chemin à $k$ succès sur $n$ épreuves a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n - k}$ ; « au moins un succès » se calcule avec l'événement contraire « aucun succès ».
S'entraîner sur répétition de n ≤ 4 épreuves de bernoulli indépendantes
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. On note $R_1$ : « la première boule est rouge » et $R_2$ : « la deuxième boule est rouge ». 1. Construis l'arbre pondéré, puis calcule $P(R_1 \cap R_2)$. 2. Calcule $P(R_2)$ avec la formule des probabilités totales. 3. Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une joueuse de basket réussit chaque lancer franc avec une probabilité de $0{,}8$, les lancers étant indépendants. Elle tire $3$ lancers francs. 1. Calcule la probabilité qu'elle réussisse les $3$ lancers. 2. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse exactement $2$. 3. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse au moins $1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités conditionnelles (Mathématiques 1ère).