Probabilité conditionnelle et arbre pondéré en 1ère
Probabilité conditionnelle et arbre pondéré, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Probabilités conditionnelles », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Probabilité conditionnelle et arbre pondéré : le cours
Si $P(A) \neq 0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (notion introduite en seconde, parfois notée $P(B \mid A)$). Dans un arbre pondéré, les branches issues de la racine portent $P(A)$ et $P(\overline{A})$ ; les branches suivantes portent des probabilités conditionnelles comme $P_A(B)$. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
Exemple
On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes. On note $R$ : « la carte est rouge » et $K$ : « la carte est un roi ». Il y a $26$ cartes rouges, dont $2$ rois, donc $P_R(K) = \frac{2}{26} = \frac{1}{13}$.
À retenir
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ : on multiplie le long d'un chemin ; les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$.
S'entraîner sur probabilité conditionnelle et arbre pondéré
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. On note $R_1$ : « la première boule est rouge » et $R_2$ : « la deuxième boule est rouge ». 1. Construis l'arbre pondéré, puis calcule $P(R_1 \cap R_2)$. 2. Calcule $P(R_2)$ avec la formule des probabilités totales. 3. Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une joueuse de basket réussit chaque lancer franc avec une probabilité de $0{,}8$, les lancers étant indépendants. Elle tire $3$ lancers francs. 1. Calcule la probabilité qu'elle réussisse les $3$ lancers. 2. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse exactement $2$. 3. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse au moins $1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités conditionnelles (Mathématiques 1ère).