Partition de l'univers et formule des probabilités totales en 1ère
Partition de l'univers et formule des probabilités totales, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Probabilités conditionnelles », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Partition de l'univers et formule des probabilités totales : le cours
Des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $\Omega$ (exemple fréquent : $A$ et $\overline{A}$). Formule des probabilités totales : $P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B)$ ; si les $P(A_i)$ sont non nulles, $P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + \dots + P(A_n) \times P_{A_n}(B)$. Sur un arbre, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$.
Exemple
Une usine a trois ateliers qui produisent respectivement $50\,\%$, $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces, avec des taux de pièces défectueuses de $2\,\%$, $3\,\%$ et $5\,\%$. Pour une pièce prise au hasard : $P(D) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}03 + 0{,}2 \times 0{,}05 = 0{,}01 + 0{,}009 + 0{,}01 = 0{,}029$.
À retenir
Avec la partition $\{A, \overline{A}\}$ : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$.
S'entraîner sur partition de l'univers et formule des probabilités totales
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire successivement deux boules sans remise. On note $R_1$ : « la première boule est rouge » et $R_2$ : « la deuxième boule est rouge ». 1. Construis l'arbre pondéré, puis calcule $P(R_1 \cap R_2)$. 2. Calcule $P(R_2)$ avec la formule des probabilités totales. 3. Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une joueuse de basket réussit chaque lancer franc avec une probabilité de $0{,}8$, les lancers étant indépendants. Elle tire $3$ lancers francs. 1. Calcule la probabilité qu'elle réussisse les $3$ lancers. 2. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse exactement $2$. 3. Calcule la probabilité qu'elle en réussisse au moins $1$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités conditionnelles (Mathématiques 1ère).