Signe, sens de variation et courbe en 1ère
Signe, sens de variation et courbe, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Signe, sens de variation et courbe : le cours
Pour tout réel $x$, $e^x > 0$ : la courbe de la fonction exponentielle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Comme $\exp' = \exp$ est strictement positive, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par les points $(0 ; 1)$ et $(1 ; e)$. On en déduit : $e^a = e^b$ si et seulement si $a = b$, et $e^a < e^b$ si et seulement si $a < b$.
Exemple
Quelques valeurs arrondies au millième : $e^{-2} \approx 0{,}135$ ; $e^{-1} \approx 0{,}368$ ; $e^{0} = 1$ ; $e^{1} \approx 2{,}718$ ; $e^{2} \approx 7{,}389$. Pour comparer $e^{0{,}5}$ et $e^{0{,}7}$ : $0{,}5 < 0{,}7$ et la fonction exponentielle est croissante, donc $e^{0{,}5} < e^{0{,}7}$.
À retenir
Pour tout réel $x$, $e^x > 0$ ; $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $e^a < e^b \iff a < b$ et $e^a = e^b \iff a = b$.
S'entraîner sur signe, sens de variation et courbe
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Simplifie $A = \frac{e^{3x} \times e^{2}}{e^{x}}$. 2) Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x - 1} = e^{4}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le nombre de bactéries dans une culture est modélisé par $N(t) = 500e^{0{,}2t}$, où $t$ est le temps en heures. 1) Calcule $N'(t)$ et déduis-en le sens de variation de $N$. 2) Calcule $N(0)$ et une valeur approchée de $N(5)$. 3) Montre que les valeurs $N(0), N(1), N(2), \ldots$ forment une suite géométrique dont tu donneras la raison.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle (Mathématiques 1ère).