Lien avec les suites géométriques en 1ère
Lien avec les suites géométriques, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Lien avec les suites géométriques : le cours
Pour un réel $a$ fixé, la suite définie par $u_n = e^{na}$ est géométrique de raison $e^a$, car $u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na} \times e^{a} = u_n \times e^a$. Ainsi, les valeurs de $t \mapsto e^{at}$ aux instants entiers $t = 0, 1, 2, \ldots$ forment une suite géométrique : la fonction exponentielle prolonge cette suite à tous les réels, y compris les instants non entiers.
Exemple
Pour $f(t) = e^{0{,}1t}$, les valeurs $f(0), f(1), f(2), \ldots$ forment une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $e^{0{,}1} \approx 1{,}105$ : la quantité augmente d'environ 10,5 % à chaque unité de temps.
À retenir
$u_n = e^{na}$ définit une suite géométrique de raison $e^a$ ; la fonction $t \mapsto e^{at}$ en est la version « continue ».
S'entraîner sur lien avec les suites géométriques
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Simplifie $A = \frac{e^{3x} \times e^{2}}{e^{x}}$. 2) Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x - 1} = e^{4}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le nombre de bactéries dans une culture est modélisé par $N(t) = 500e^{0{,}2t}$, où $t$ est le temps en heures. 1) Calcule $N'(t)$ et déduis-en le sens de variation de $N$. 2) Calcule $N(0)$ et une valeur approchée de $N(5)$. 3) Montre que les valeurs $N(0), N(1), N(2), \ldots$ forment une suite géométrique dont tu donneras la raison.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle (Mathématiques 1ère).