Propriétés algébriques, nombre e et notation e^x en 1ère
Propriétés algébriques, nombre e et notation e^x, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Propriétés algébriques, nombre e et notation e^x : le cours
Pour tous réels $a$ et $b$ : $\exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b)$ (l'exponentielle transforme une somme en produit). On en déduit : $\exp(-a) = \frac{1}{\exp(a)}$, $\exp(a - b) = \frac{\exp(a)}{\exp(b)}$ et $\exp(na) = (\exp(a))^n$ pour tout entier $n$. On note $e = \exp(1) \approx 2{,}718$ ; comme $\exp(n) = e^n$ pour tout entier $n$, on note $\exp(x) = e^x$ pour tout réel $x$.
Exemple
$e^{3} \times e^{-1} = e^{3 + (-1)} = e^{2}$ ; $\frac{e^{5}}{e^{2}} = e^{5 - 2} = e^{3}$ ; $(e^{2})^{3} = e^{6}$ ; $e^{-2} = \frac{1}{e^{2}}$.
À retenir
$e^{a+b} = e^a \times e^b$, $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^n = e^{na}$ ; $e = e^1 \approx 2{,}718$ et $e^0 = 1$.
S'entraîner sur propriétés algébriques, nombre e et notation e^x
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Simplifie $A = \frac{e^{3x} \times e^{2}}{e^{x}}$. 2) Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x - 1} = e^{4}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le nombre de bactéries dans une culture est modélisé par $N(t) = 500e^{0{,}2t}$, où $t$ est le temps en heures. 1) Calcule $N'(t)$ et déduis-en le sens de variation de $N$. 2) Calcule $N(0)$ et une valeur approchée de $N(5)$. 3) Montre que les valeurs $N(0), N(1), N(2), \ldots$ forment une suite géométrique dont tu donneras la raison.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle (Mathématiques 1ère).