Dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles en 1ère
Dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles, c'est une notion de mathématiques du chapitre « Fonction exponentielle », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles : le cours
Pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto e^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $t \mapsto a\,e^{at}$. Comme $e^{at} > 0$, le signe de la dérivée est celui de $a$. Pour $k > 0$ : $t \mapsto e^{kt}$ est strictement croissante (croissance exponentielle) et $t \mapsto e^{-kt}$ est strictement décroissante (décroissance exponentielle).
Exemple
La quantité de médicament dans le sang (en mg) est modélisée par $Q(t) = 20e^{-0{,}5t}$, $t$ en heures. $Q'(t) = 20 \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = -10e^{-0{,}5t} < 0$ : la quantité diminue. $Q(0) = 20$ mg et $Q(2) = 20e^{-1} \approx 7{,}36$ mg.
À retenir
$(e^{at})' = a\,e^{at}$ ; si $k > 0$, $t \mapsto e^{kt}$ est croissante et $t \mapsto e^{-kt}$ est décroissante.
S'entraîner sur dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
1) Simplifie $A = \frac{e^{3x} \times e^{2}}{e^{x}}$. 2) Résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x - 1} = e^{4}$.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Le nombre de bactéries dans une culture est modélisé par $N(t) = 500e^{0{,}2t}$, où $t$ est le temps en heures. 1) Calcule $N'(t)$ et déduis-en le sens de variation de $N$. 2) Calcule $N(0)$ et une valeur approchée de $N(5)$. 3) Montre que les valeurs $N(0), N(1), N(2), \ldots$ forment une suite géométrique dont tu donneras la raison.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonction exponentielle (Mathématiques 1ère).