Variations et optimisation en 1ère
Variations et optimisation, c'est une notion de mathématiques spécifiques du chapitre « Fonctions et dérivation », au programme de 1ère. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Variations et optimisation : le cours
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ est croissante sur cet intervalle ; si $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante. On dresse le tableau de signes de $f'$ puis le tableau de variations de $f$. Un extrémum (maximum ou minimum) apparaît là où $f'$ s'annule en changeant de signe, ou aux bornes de l'intervalle d'étude.
Exemple
Une entreprise a un bénéfice $B(x) = -x^2 + 10x - 16$ (en milliers d'euros) pour $x$ centaines d'objets vendus, avec $x \in [0 ; 10]$. $B'(x) = -2x + 10$ s'annule en $x = 5$, positive avant, négative après : le bénéfice est maximal pour 500 objets et vaut $B(5) = 9$, soit 9 000 €.
À retenir
Signe de $f'$ → variations de $f$ → extrémums ; on compare aussi les valeurs aux bornes de l'intervalle.
S'entraîner sur variations et optimisation
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ définie sur $[0 ; 5]$. Calculez la dérivée, étudiez son signe, puis déterminez le minimum et le maximum de $f$ sur cet intervalle.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Soit $g(x) = x^3 - 3x$ définie sur $[-2 ; 2]$. Calculez $g'(x)$, dressez le tableau de variations de $g$ et donnez l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Fonctions et dérivation (Mathématiques spécifiques 1ère).