Inverser le conditionnement (formule de Bayes) en Terminale
Inverser le conditionnement (formule de Bayes), c'est une notion de mathématiques spécifiques du chapitre « Probabilités conditionnelles et lois », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Inverser le conditionnement (formule de Bayes) : le cours
L'arbre donne des probabilités « dans le sens de l'expérience », comme $P_A(B)$. Pour obtenir la probabilité « dans l'autre sens », $P_B(A)$ (la probabilité d'une cause connaissant l'effet observé), on applique la définition : on calcule $P(A \cap B)$ avec le chemin de l'arbre, puis $P(B)$ avec les probabilités totales. Pour aller plus loin (hors programme de terminale technologique) : ce raisonnement, écrit en une seule formule, s'appelle la formule de Bayes ; il n'est pas nécessaire de la retenir, la définition suffit.
Exemple
Dans l'usine précédente, on tire une pièce défectueuse. La probabilité qu'elle vienne de la machine $A$ est $P_D(A) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}03}{0{,}07} \approx 0{,}43$.
À retenir
$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ avec $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ et $P(B)$ obtenue par les probabilités totales. En général, $P_B(A) \neq P_A(B)$.
S'entraîner sur inverser le conditionnement (formule de bayes)
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un lycée, 60 % des élèves font de l'anglais (A) et 40 % font de l'espagnol (E). On sait que 30 % des élèves font les deux langues. Un élève fait de l'anglais. Quelle est la probabilité qu'il fasse aussi de l'espagnol ? Les événements A et E sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une maladie touche 2 % d'une population. Un test de dépistage est positif chez 95 % des personnes malades et chez 4 % des personnes non malades. On choisit une personne au hasard ; on note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ». 1) Construire l'arbre pondéré. 2) Calculer $P(T)$. 3) Le test est positif : quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités conditionnelles et lois (Mathématiques spécifiques Terminale).