Arbres pondérés et probabilités totales en Terminale
Arbres pondérés et probabilités totales, c'est une notion de mathématiques spécifiques du chapitre « Probabilités conditionnelles et lois », au programme de Terminale. Voici le cours, un exemple et de quoi t'entraîner.
Arbres pondérés et probabilités totales : le cours
Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Sur les branches du premier niveau on écrit $P(A)$ et $P(\overline{A})$ ; sur celles du second niveau, des probabilités conditionnelles comme $P_A(B)$. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. Comme $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, la probabilité de $B$ est la somme des probabilités des chemins qui mènent à $B$ : c'est la formule des probabilités totales.
Exemple
Une usine a deux machines : la machine $A$ fabrique 60 % des pièces, dont 5 % sont défectueuses ; la machine $\overline{A}$ fabrique les autres, dont 10 % sont défectueuses. Pour l'événement $D$ « la pièce est défectueuse » : $P(D) = 0{,}6 \times 0{,}05 + 0{,}4 \times 0{,}1 = 0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}07$.
À retenir
Formule des probabilités totales : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$.
S'entraîner sur arbres pondérés et probabilités totales
Fais l'exercice, puis demande au tuteur de te corriger pas à pas.
Exercice 1
Dans un lycée, 60 % des élèves font de l'anglais (A) et 40 % font de l'espagnol (E). On sait que 30 % des élèves font les deux langues. Un élève fait de l'anglais. Quelle est la probabilité qu'il fasse aussi de l'espagnol ? Les événements A et E sont-ils indépendants ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Exercice 2
Une maladie touche 2 % d'une population. Un test de dépistage est positif chez 95 % des personnes malades et chez 4 % des personnes non malades. On choisit une personne au hasard ; on note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ». 1) Construire l'arbre pondéré. 2) Calculer $P(T)$. 3) Le test est positif : quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
Corrige cet exercice avec le tuteur →Cette notion fait partie du chapitre Probabilités conditionnelles et lois (Mathématiques spécifiques Terminale).