Votre enfant est en 3ème, et après Pythagore et Thalès, un nouveau chapitre débarque : la trigonométrie. Trois nouveaux mots — sinus, cosinus, tangente — et une question qui revient sans cesse pendant les devoirs : « Mais je dois utiliser lequel des trois ? » Sur le papier, les formules tiennent en trois lignes. Dans un exercice concret, savoir laquelle appliquer, c'est une autre histoire.
C'est pourtant l'un des chapitres les plus rentables du programme de 3ème : une fois le bon réflexe acquis, les exercices se ressemblent tous et le brevet en propose presque systématiquement un. Dans ce guide, vous trouverez la méthode pour choisir le bon rapport à chaque fois, puis 4 exercices corrigés pas à pas, du plus simple au type brevet.
Sinus, cosinus, tangente : le minimum à connaître avant de commencer
La trigonométrie du collège ne concerne qu'un seul type de figure : le triangle rectangle. Dès qu'un triangle n'a pas d'angle droit, sin/cos/tan ne s'appliquent pas — c'est le premier réflexe à vérifier avant tout calcul.
Dans un triangle rectangle, on se place par rapport à un angle aigu donné (appelons-le α, un angle qui n'est pas l'angle droit). Les trois côtés du triangle prennent alors un nom selon leur position par rapport à cet angle :
- l'hypoténuse : le plus long côté, toujours en face de l'angle droit ;
- le côté opposé : le côté en face de l'angle α ;
- le côté adjacent : le côté qui touche l'angle α (sans être l'hypoténuse).
À partir de ces trois côtés, trois rapports sont définis :
cos(α) = adjacent / hypoténuse sin(α) = opposé / hypoténuse tan(α) = opposé / adjacent
Le moyen mnémotechnique le plus utilisé s'appelle SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent. Une fois cette phrase mémorisée, il ne reste plus qu'à identifier, sur chaque figure, quel côté joue quel rôle — c'est là que se joue la quasi-totalité des erreurs.
Comment choisir le bon rapport (la question à se poser à chaque fois)
Avant de calculer quoi que ce soit, votre enfant doit se poser deux questions dans l'ordre :
- Par rapport à quel angle je me place ? (Le côté opposé et le côté adjacent changent selon l'angle choisi.)
- Est-ce que l'hypoténuse intervient dans ce que je connais ou ce que je cherche ?
- Si oui → cosinus ou sinus.
- Si non, et que seuls les côtés opposé et adjacent sont concernés → tangente.
Cette méthode évite d'apprendre les trois formules « au hasard » et donne un vrai chemin de décision, réutilisable dans n'importe quel exercice.
Configuration 1 : calculer une longueur avec le cosinus
Énoncé. ABC est un triangle rectangle en B. On donne l'angle BAC = 40° et AB = 6 cm. Calculer AC (arrondir au dixième).
La question à se poser. L'angle donné est en A. Par rapport à A, AB est le côté adjacent (il touche l'angle A sans être l'hypoténuse) et AC est l'hypoténuse (le côté le plus long, en face de l'angle droit en B). Adjacent et hypoténuse → c'est le cosinus.
Rédaction attendue.
Dans le triangle ABC rectangle en B : cos(BAC) = AB / AC cos(40°) = 6 / AC AC = 6 / cos(40°) AC ≈ 7,8 cm
Le piège. Écrire AC = 6 × cos(40°) au lieu de 6 / cos(40°). Comme dans une équation classique, si l'inconnue est au dénominateur du rapport, il faut diviser — pas multiplier. Refaire l'égalité de départ sur le papier avant de manipuler les nombres évite cette erreur.
Configuration 2 : calculer une longueur avec le sinus
Énoncé. DEF est un triangle rectangle en E. On donne l'angle EDF = 55° et DF = 9 cm (l'hypoténuse). Calculer EF (arrondir au dixième).
La question à se poser. L'angle est en D. EF est le côté opposé à D (en face de cet angle), DF est l'hypoténuse. Opposé et hypoténuse → sinus.
Rédaction attendue.
Dans le triangle DEF rectangle en E : sin(EDF) = EF / DF sin(55°) = EF / 9 EF = 9 × sin(55°) EF ≈ 7,4 cm
À retenir. Ici, l'inconnue est au numérateur du rapport : on multiplie directement. C'est l'inverse de la configuration précédente — d'où l'intérêt de toujours réécrire l'égalité avant de se lancer dans le calcul, plutôt que d'appliquer une formule apprise sans la comprendre.
Configuration 3 : calculer un angle avec les fonctions réciproques
Énoncé. GHI est un triangle rectangle en H. On donne GH = 5 cm et HI = 8 cm. Calculer l'angle HGI (arrondir au degré).
La question à se poser. L'angle cherché est en G. Par rapport à G, GH est le côté adjacent, HI est le côté opposé. Opposé et adjacent, sans hypoténuse → tangente.
Rédaction attendue.
Dans le triangle GHI rectangle en H : tan(HGI) = HI / GH tan(HGI) = 8 / 5 = 1,6 HGI = tan⁻¹(1,6) HGI ≈ 58°
Le piège. Confondre tan(HGI) = 1,6 (un rapport de longueurs) avec HGI = 1,6° (un angle). Pour retrouver l'angle à partir du rapport, il faut utiliser la fonction réciproque — la touche « tan⁻¹ » ou « atan » de la calculatrice, jamais tan directement.
Exercice type brevet
Énoncé. Un mât vertical MN est planté dans un sol horizontal. Un câble tendu relie le sommet M du mât à un point P du sol, situé à 12 m du pied N du mât. Le câble forme un angle de 35° avec le sol.
1) Quelle est la nature du triangle MNP ? Justifier. 2) Calculer la hauteur MN du mât (arrondir au dixième de mètre).
Réponse 1.
Le mât est vertical et le sol est horizontal, donc l'angle en N (entre le mât et le sol) est droit. Le triangle MNP est rectangle en N.
Réponse 2.
Dans le triangle MNP rectangle en N, l'angle en P vaut 35°. Par rapport à P, MN est le côté opposé et NP est le côté adjacent. tan(35°) = MN / NP MN = NP × tan(35°) MN = 12 × tan(35°) MN ≈ 8,4 m
Le piège. Beaucoup d'élèves oublient la première question — justifier que le triangle est rectangle — et perdent des points alors même que le calcul final est juste. Au brevet, cette justification fait partie du barème.
Comment l'aider à s'entraîner sans tout lui corriger
Ce qui rend la trigonométrie difficile en 3ème, ce n'est presque jamais le calcul avec la calculatrice. C'est :
- identifier correctement l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent selon l'angle choisi ;
- en déduire le bon rapport (cos, sin ou tan) parmi les trois ;
- savoir dans quel sens résoudre l'égalité (multiplier ou diviser) ;
- utiliser la fonction réciproque quand c'est l'angle qui est cherché, et non une longueur.
Ces réflexes ne s'acquièrent qu'en manipulant plusieurs figures différentes — pas en relisant une correction. Et c'est précisément là que beaucoup de parents se retrouvent coincés : soit ils finissent par donner directement le rapport à utiliser (l'enfant retient l'exercice, pas la méthode), soit la séance de devoirs vire à la tension parce que personne ne sait exactement comment reformuler l'indice sans dire la réponse.
C'est ce constat qui a donné naissance à Comprendo. Contrairement à ChatGPT, qui donnerait directement « il faut utiliser le cosinus » sans que l'enfant comprenne pourquoi, le tuteur IA pose les questions qui font trouver la réponse : « Par rapport à quel angle tu te places ? », « Ce côté-là, il touche l'angle ou il lui fait face ? ». L'enfant identifie lui-même le bon rapport — et la méthode reste, contrôle après contrôle.
Comprendo garde aussi la mémoire des séances précédentes : si votre enfant confond régulièrement côté opposé et côté adjacent, le tuteur lui repropose ce point précis quelques jours plus tard, sous un angle différent, jusqu'à ce que le réflexe soit automatique. C'est cette méthode socratique, disponible à toute heure, qui remplace efficacement les révisions de dernière minute la veille du contrôle.
L'essai est de 14 jours sans engagement (12,99 €/mois ensuite, 9,99 € par enfant supplémentaire), et le compte se crée en deux minutes. Pour revoir les bases de géométrie qui précèdent ce chapitre, notre article sur le théorème de Thalès en 3ème reprend les mêmes réflexes de méthode, avec des figures corrigées pas à pas.
En résumé
La trigonométrie en 3ème repose sur une méthode en trois étapes, toujours dans le même ordre :
- Vérifier que le triangle est rectangle, sinon sin/cos/tan ne s'appliquent pas.
- Identifier, par rapport à l'angle choisi, l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent — c'est cette étape qui détermine tout le reste.
- Choisir le bon rapport (SOH-CAH-TOA), écrire l'égalité complète, puis résoudre en multipliant ou en divisant selon la position de l'inconnue.
Une fois ces trois réflexes automatiques, tous les exercices du chapitre — et la plupart des sujets de brevet — se traitent avec la même méthode, quelle que soit la figure de départ.