Votre lycéen est entré en seconde, le chapitre probabilités est arrivé, et l'air de rien tout se complique. Ce n'était pourtant pas si dur en 3ème — un dé, une pièce, on comptait les cas favorables. Sauf qu'au lycée, on parle d'événements, d'intersection, d'union, on dessine des arbres pondérés, et soudain les exercices ressemblent à des énoncés de philo. Au premier contrôle, c'est la douche froide.
Le problème, neuf fois sur dix, n'est pas le calcul. C'est le vocabulaire. Tant qu'on confond P(A ∩ B) et P(A ∪ B), tant qu'on n'a pas compris à quoi sert un arbre pondéré, on bloque sur des exercices pourtant accessibles. Et personne ne prend le temps de réexpliquer ces réflexes-là en classe — on enchaîne.
Dans ce guide, 5 exercices corrigés pas à pas, classés du contrôle de routine au type bac blanc, avec à chaque fois la question que votre enfant doit se poser pour ne pas se tromper. Et si vous voulez qu'il s'entraîne en autonomie sans réclamer la correction toutes les deux lignes, on en reparle à la fin.
Le minimum à savoir avant de toucher à un exercice
Trois définitions, trois formules. Si votre enfant en bloque une, le reste s'écroule.
Le vocabulaire. Un univers Ω, c'est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire (les 6 faces d'un dé, les 52 cartes d'un jeu). Un événement A, c'est une partie de cet univers. P(A) est sa probabilité — un nombre entre 0 et 1.
Les deux opérations à ne jamais mélanger.
- A ∩ B (A « inter » B) : les résultats qui sont à la fois dans A et dans B. Mot-clé : « et ».
- A ∪ B (A « union » B) : les résultats qui sont dans A ou dans B (ou les deux). Mot-clé : « ou ».
La formule du crible, qui sort à 80 % des contrôles :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
On retire l'intersection parce que sinon on la compte deux fois. C'est tout.
Et l'équiprobabilité, le réflexe de base : quand tous les résultats sont équiprobables (un dé équilibré, un tirage au hasard), P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
Avec ces trois briques, on peut attaquer 90 % des exercices de seconde.
Exercice 1 : équiprobabilité, le réflexe de départ
C'est l'exercice d'ouverture du contrôle, celui qu'il faut faire sans réfléchir.
Énoncé. On lance un dé équilibré à 6 faces. On note A : « obtenir un nombre pair » et B : « obtenir un multiple de 3 ». Calculer P(A), P(B), P(A ∩ B) et P(A ∪ B).
La question à se poser. « Mon univers est-il équiprobable ? » Oui — le dé est équilibré, donc chaque face a la probabilité 1/6.
Rédaction attendue.
L'univers est Ω = , équiprobable. A = → P(A) = 3/6 = 1/2 B = → P(B) = 2/6 = 1/3 A ∩ B = → P(A ∩ B) = 1/6 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 4/6 = 2/3
Le piège. Beaucoup d'élèves écrivent P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/3 = 5/6. C'est faux : le 6 est compté deux fois (il est pair et multiple de 3), il faut le retirer une fois via P(A ∩ B). D'où la formule du crible.
Exercice 2 : tirage dans une urne
C'est la situation préférée des manuels — et celle qui pose le plus de questions de méthode.
Énoncé. Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 5 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. On note R : « la boule est rouge » et V : « la boule est verte ». Calculer P(R), P(V), P(R ∩ V) et P(R ∪ V).
La question à se poser. « Combien de boules au total, et est-ce un tirage au hasard ? » 4 + 3 + 5 = 12 boules, tirage au hasard → équiprobable.
Rédaction attendue.
Il y a 12 boules dans l'urne, le tirage est au hasard donc l'univers est équiprobable. P(R) = 4/12 = 1/3 P(V) = 3/12 = 1/4 R ∩ V = ∅ (une boule ne peut pas être à la fois rouge et verte) → P(R ∩ V) = 0 P(R ∪ V) = P(R) + P(V) − 0 = 1/3 + 1/4 = 7/12
Le piège — celui qui rapporte un point au contrôle. Quand deux événements ne peuvent pas se produire en même temps (on dit qu'ils sont incompatibles), leur intersection est l'ensemble vide. Beaucoup d'élèves ne le justifient pas et écrivent directement P(R ∪ V) = P(R) + P(V) — c'est juste, mais la phrase « R et V sont incompatibles » manque, et le correcteur enlève un point pour rédaction.
Exercice 3 : arbre pondéré (deux lancers successifs)
À partir d'ici, on entre dans la mécanique qui sert toute l'année — et qui resservira en 1ère puis en terminale.
Énoncé. On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. On note A : « obtenir au moins une fois face » et B : « obtenir deux fois pile ». Calculer P(A) et P(B) à l'aide d'un arbre.
La question à se poser. « Combien d'étapes y a-t-il, et chaque branche a quelle probabilité ? » Deux étapes, chaque branche à 1/2 (pièce équilibrée).
L'arbre, étape par étape.
Étape 1 (premier lancer) : deux branches, F et P, chacune à 1/2. Étape 2 (second lancer) : depuis F, deux branches F et P à 1/2. Depuis P, idem. On obtient 4 chemins possibles : (F,F), (F,P), (P,F), (P,P). Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long des branches. P(F,F) = 1/2 × 1/2 = 1/4 Idem pour les 3 autres → chaque chemin a une probabilité de 1/4.
Rédaction attendue.
B = « deux pile » = → P(B) = 1/4 A = « au moins un face » = → P(A) = 3/4 Astuce : P(A) = 1 − P(deux pile) = 1 − 1/4 = 3/4 (passage par l'événement contraire).
Le piège. L'expression « au moins un » fait paniquer beaucoup d'élèves, qui essaient de lister tous les cas. Le réflexe à acquérir : « au moins un » se calcule par le contraire. P(au moins un F) = 1 − P(aucun F) = 1 − P(deux P). Trois lignes au lieu de dix.
Exercice 4 : événements indépendants (intersection par produit)
C'est l'exercice où on perd le plus de temps si on n'a pas compris la définition.
Énoncé. On tire au hasard une carte d'un jeu de 52 cartes, on la remet, puis on retire une carte. On note A : « la première carte est un cœur » et B : « la seconde carte est un roi ». Calculer P(A ∩ B).
La question à se poser. « Le résultat du premier tirage influe-t-il sur le second ? » Non, puisqu'on a remis la carte. Les deux événements sont donc indépendants.
La règle clé en seconde. Si A et B sont indépendants, alors :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Attention au sens : on multiplie uniquement si on a la garantie de l'indépendance. Avec remise, c'est presque toujours le cas. Sans remise, presque jamais.
Rédaction attendue.
Il y a 13 cœurs et 4 rois dans un jeu de 52. P(A) = 13/52 = 1/4 P(B) = 4/52 = 1/13 Les tirages sont indépendants (carte remise), donc P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 1/4 × 1/13 = 1/52.
Le piège. Si l'énoncé disait « on tire deux cartes successivement sans remise », alors les événements ne seraient plus indépendants — on ne pourrait pas multiplier. Ce mot, « avec remise » ou « sans remise », change tout. Le surligner dès la première lecture est un réflexe à installer.
Exercice 5 : exercice type bac blanc (sondage)
L'exercice qui fait la différence entre un 13 et un 17 au contrôle bilan.
Énoncé. Dans un lycée, 60 % des élèves font de l'anglais (A), 40 % font de l'espagnol (E), et 15 % font les deux. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il fasse au moins une des deux langues. Quelle est la probabilité qu'il ne fasse aucune des deux ?
La question à se poser. « Qu'est-ce qu'on cherche en langage mathématique ? » « Au moins une des deux » = A ∪ E. « Aucune » = le contraire de (A ∪ E).
Rédaction attendue.
Données : P(A) = 0,60 ; P(E) = 0,40 ; P(A ∩ E) = 0,15. Probabilité de faire au moins une langue : P(A ∪ E) = P(A) + P(E) − P(A ∩ E) = 0,60 + 0,40 − 0,15 = 0,85 Probabilité de ne faire aucune langue : P(« aucune ») = 1 − P(A ∪ E) = 1 − 0,85 = 0,15.
Le piège. Confondre P(A ∩ E) = 0,15 avec P(A) × P(E) = 0,24. Ici, A et E ne sont pas indépendants (l'énoncé donne explicitement P(A ∩ E)), donc la formule produit ne s'applique pas. C'est la donnée 0,15 qu'on utilise — pas un produit.
Le réflexe qui change tout : trier l'énoncé avant de calculer
Si votre enfant doit retenir une seule chose de ce chapitre, c'est l'ordre dans lequel attaquer un exercice de probabilités :
- Identifier l'univers. Combien de résultats possibles ? Sont-ils équiprobables ?
- Traduire les événements en français mathématique. « Et » → ∩. « Ou » → ∪. « Au moins » → souvent le contraire.
- Avec remise / sans remise. Souligner. C'est ce mot qui décide si on peut multiplier.
- Faire un arbre si plusieurs étapes. Une seule expérience ? Pas besoin. Deux ou plus ? Toujours.
- Choisir la formule. Crible pour ∪, produit pour ∩ si indépendance, complémentaire pour « au moins ».
Cette grille en 5 points, appliquée systématiquement, résout 95 % des exercices de probabilités de seconde.
Quand votre enfant bloque sur ce chapitre
Le piège, avec les probabilités, c'est que l'élève croit avoir compris en lisant la correction — et bloque dès qu'on change un mot dans l'énoncé. C'est typique : la formule entre, le réflexe ne s'installe pas.
Reprendre les exercices ci-dessus à voix haute avec lui, sans regarder la correction, est la meilleure façon de tester. Demandez-lui : « Quelle est ta question 1 ? Quelle est ta question 2 ? » S'il sait dire « j'identifie l'univers, je traduis les événements », il a compris. S'il se précipite sur les chiffres, c'est qu'il n'a que la mécanique de surface.
C'est exactement la difficulté qu'on a essayé de régler avec Comprendo — un tuteur IA qui ne donne pas la réponse, mais pose les bonnes questions pour que votre enfant construise sa méthode. Sur un exercice de probabilités, ça donne typiquement : « Avant de calculer, dis-moi : ton tirage est-il avec remise ? » — et si la réponse est floue, l'IA insiste, sans jamais lâcher la solution. Au bout de quelques séances, c'est l'élève qui se pose la question seul. C'est ça, la différence avec une fiche corrigée qu'on relit le soir.
L'essai est gratuit pendant 14 jours, sans carte bancaire. Et pour les fratries, les abonnements supplémentaires sont à 9,99 €/mois par enfant en plus du premier — pas un nouveau plein tarif.
Pour aller plus loin (collège → lycée)
Les probabilités sont l'un des rares chapitres qui se construisent de façon vraiment progressive : ce qui est posé en seconde resservira en première (probabilités conditionnelles, variables aléatoires) puis en terminale (lois continues, échantillonnage). Solidifier le vocabulaire et les arbres maintenant, c'est se simplifier la vie pendant trois ans.
Si votre enfant a aussi des fragilités en géométrie pour le brevet, notre guide sur le théorème de Thalès en 3ème avec exercices corrigés suit la même structure pas à pas. Et plus largement, si vous cherchez comment l'épauler en maths sans devenir prof à sa place, on a écrit un guide complet pour aider son enfant en maths — il vaut pour le collège comme pour le lycée.