Votre enfant est en 4ème et il bute sur les équations. Il sait recopier « x + 3 = 7 » et trouver x = 4 presque de tête, mais dès que l'énoncé se complique — une parenthèse, un x des deux côtés, ou pire, un problème à mettre en équation — il bloque et lève les yeux au ciel. « Je sais pas par où commencer. »
C'est le passage le plus délicat de l'algèbre au collège : on quitte le calcul numérique pur pour manipuler une inconnue selon des règles précises, et la moindre erreur de signe fait tout basculer. La bonne nouvelle, c'est que la méthode est toujours la même, quel que soit l'énoncé.
Voici 6 exercices corrigés, du plus simple au niveau brevet, avec à chaque fois la question que votre enfant doit apprendre à se poser avant de toucher son crayon.
La règle d'or des équations (le minimum à connaître)
Une équation du premier degré à une inconnue ressemble toujours, une fois simplifiée, à ceci :
ax + b = c
où a, b et c sont des nombres connus, et x est l'inconnue à trouver.
Pour la résoudre, on applique une seule règle, toujours dans le même ordre :
- Isoler les x d'un côté du signe égal, les nombres de l'autre.
- Quand un terme change de côté, il change de signe (+ devient −, et inversement).
- Une fois qu'on a « a × x = un nombre », on divise les deux côtés par a pour obtenir x seul.
C'est cette phrase que votre enfant doit se répéter à chaque étape : « Qu'est-ce que je fais des deux côtés du signe égal pour ne rien casser ? » Une équation, c'est une balance : si vous ajoutez, retranchez, multipliez ou divisez d'un côté, il faut faire exactement la même chose de l'autre.
Exercice 1 — Équation simple (une seule opération à annuler)
Énoncé : Résoudre x + 5 = 12.
La méthode : on veut isoler x. Il y a un « + 5 » du côté de x, donc on retranche 5 des deux côtés.
Rédaction propre :
x + 5 = 12
x = 12 − 5
x = 7
Vérification : on remplace x par 7 dans l'équation de départ : 7 + 5 = 12. C'est juste.
Le réflexe à prendre : toujours vérifier son résultat en le remettant dans l'équation d'origine. C'est le moyen le plus simple de repérer une erreur de signe avant de rendre sa copie.
Exercice 2 — Équation avec multiplication
Énoncé : Résoudre 3x − 4 = 11.
La méthode : deux étapes. D'abord on isole le terme en x (donc on s'occupe du « − 4 »), puis on isole x tout seul (donc on divise par 3).
Rédaction propre :
3x − 4 = 11
3x = 11 + 4
3x = 15
x = 15 ÷ 3
x = 5
L'erreur classique : beaucoup d'élèves divisent par 3 avant d'avoir isolé le terme en x, et calculent 3x − 4 = 11 → x − 4 = 11/3, ce qui est faux. On ne divise qu'à la toute dernière étape, une fois qu'il ne reste que « nombre × x = nombre ».
Exercice 3 — Équation avec parenthèses
Énoncé : Résoudre 2(x + 3) = 16.
La méthode : avant de faire quoi que ce soit d'autre, on développe la parenthèse. C'est le point de blocage numéro un sur cet exercice : beaucoup d'élèves essaient de « retirer la parenthèse » directement, ce qui donne des résultats faux.
Rédaction propre :
2(x + 3) = 16
2x + 6 = 16 (on distribue le 2 sur x et sur 3)
2x = 16 − 6
2x = 10
x = 5
Vérification : 2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16. C'est juste.
À retenir : dès qu'il y a une parenthèse précédée d'un nombre, la première ligne de la rédaction est toujours le développement, jamais une simplification directe.
Exercice 4 — L'inconnue des deux côtés de l'égalité
Énoncé : Résoudre 5x − 2 = 2x + 7.
La méthode : ici, x apparaît des deux côtés. Il faut d'abord regrouper tous les x d'un même côté, puis tous les nombres de l'autre. L'ordre ne compte pas, mais il faut le faire une étape à la fois.
Rédaction propre :
5x − 2 = 2x + 7
5x − 2x = 7 + 2 (on fait passer 2x à gauche et −2 à droite : chaque terme change de signe en changeant de côté)
3x = 9
x = 3
Vérification : à gauche, 5 × 3 − 2 = 13. À droite, 2 × 3 + 7 = 13. Les deux côtés sont égaux, c'est juste.
Le piège à éviter : faire passer un terme d'un côté sans changer son signe. C'est l'erreur la plus fréquente sur ce type d'exercice — et elle donne un résultat qui « semble » correct tant qu'on ne vérifie pas.
Exercice 5 — Mise en équation d'un problème concret (type brevet)
Énoncé : Léa a 3 ans de plus que son frère Tom. Dans 5 ans, la somme de leurs deux âges sera 41 ans. Quel est l'âge actuel de Tom ?
La méthode : c'est l'étape la plus redoutée, parce qu'il n'y a pas d'équation toute prête — il faut la construire à partir du texte. La question à se poser : « Qu'est-ce que je ne connais pas, et comment je peux l'appeler x ? »
Rédaction propre :
On appelle x l'âge actuel de Tom. Léa a donc x + 3 ans.
Dans 5 ans, Tom aura x + 5 ans et Léa aura x + 3 + 5 = x + 8 ans.
La somme de leurs âges dans 5 ans sera 41, donc :
(x + 5) + (x + 8) = 41
2x + 13 = 41
2x = 41 − 13
2x = 28
x = 14
Tom a donc 14 ans aujourd'hui (et Léa 17 ans).
Vérification : dans 5 ans, Tom aura 19 ans et Léa 22 ans, soit 19 + 22 = 41. C'est juste.
Pourquoi cet exercice tombe souvent au brevet : la mise en équation teste une compétence différente du simple calcul — traduire une situation en langage mathématique. C'est souvent là que se joue la différence entre un élève qui « sait résoudre une équation » et un élève qui « sait s'en servir ».
Exercice 6 — Équation avec fraction (niveau un peu plus avancé)
Énoncé : Résoudre x/3 + 2 = 5.
La méthode : on isole d'abord le terme en x/3, puis on multiplie les deux côtés par 3 pour faire disparaître le dénominateur.
Rédaction propre :
x/3 + 2 = 5
x/3 = 5 − 2
x/3 = 3
x = 3 × 3
x = 9
Vérification : 9/3 + 2 = 3 + 2 = 5. C'est juste.
Le réflexe : face à une fraction, on multiplie toujours les deux côtés de l'équation par le dénominateur, en dernière étape, une fois que le terme en x/… est isolé.
Les 3 erreurs qui reviennent le plus souvent
En résumé, voici ce qui fait perdre le plus de points sur ce chapitre, dans l'ordre où les élèves les rencontrent :
- Oublier de changer le signe quand un terme change de côté de l'égalité (Exercice 4).
- Diviser trop tôt, avant d'avoir isolé le terme en x (Exercice 2).
- Ne pas développer une parenthèse avant de simplifier (Exercice 3).
Si votre enfant vérifie systématiquement son résultat en le remplaçant dans l'équation de départ, il repère lui-même l'immense majorité de ces erreurs — et ça, c'est un réflexe qui vaut de l'or jusqu'au bac.
Pour aller plus loin
Si votre enfant a fait ces 6 exercices sans trop de mal, c'est bon signe : la logique de la balance a fait son chemin. S'il reste bloqué — surtout sur la mise en équation, qui demande de traduire un texte plutôt que d'appliquer une formule — ce n'est généralement pas en lui donnant la réponse qu'il progresse. C'est en le questionnant : « Qu'est-ce que tu ne connais pas ? Comment tu peux l'appeler x ? Qu'est-ce que l'énoncé te dit d'autre sur cette inconnue ? »
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Pour continuer à réviser l'algèbre et la géométrie de 4ème, notre guide sur les exercices corrigés du théorème de Pythagore reprend la même logique pas à pas, avec les pièges classiques du brevet.
Bon courage pour le prochain contrôle.
Sources et ressources complémentaires :
- Programme officiel Éducation Nationale, cycle 4 (mathématiques 5ème-3ème) — équations du premier degré à une inconnue au programme de 4ème.
- Annales du Diplôme National du Brevet (DNB), épreuve de mathématiques — mise en équation de problèmes concrets régulièrement présente dans les sujets.