Votre enfant est en 4ème, il a un contrôle de maths sur le théorème de Pythagore vendredi, et chaque fois qu'il ouvre son cahier, c'est le même blocage : il connaît la formule par cœur — a² + b² = c² — mais il ne sait jamais quand l'utiliser, quel côté est l'hypoténuse, ni dans quel sens faire le calcul. Vous lui avez expliqué trois fois, il a regardé deux vidéos YouTube, il n'avance pas.
C'est normal. Le problème de Pythagore en 4ème, ce n'est presque jamais la formule. C'est la méthode : reconnaître la situation, identifier l'hypoténuse, choisir le bon calcul (addition ou soustraction), et présenter le résultat sans se perdre dans les racines carrées.
Dans ce guide, vous trouverez 5 exercices corrigés pas à pas — du plus simple au type brevet — avec à chaque fois la question que votre enfant doit apprendre à se poser tout seul. Et si vous voulez qu'il s'entraîne en autonomie sans réclamer la solution toutes les deux minutes, on en reparle à la fin !
Le théorème de Pythagore en deux phrases (le strict nécessaire)
Avant les exercices, le rappel le plus court possible.
Dans un triangle rectangle, le carré du côté le plus long (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si on appelle l'hypoténuse BC et les deux autres côtés AB et AC, ça donne :
BC² = AB² + AC²
Trois choses à retenir avant de toucher à un exercice :
- L'hypoténuse, c'est toujours le côté opposé à l'angle droit — donc le côté qui ne touche pas le petit carré qui marque l'angle droit sur la figure.
- Pythagore ne marche que si le triangle est rectangle. Si l'énoncé ne dit pas qu'il l'est, c'est qu'il faut le démontrer (avec la réciproque, vue plus loin dans l'année).
- L'unité doit être la même pour tous les côtés. Si l'énoncé mélange cm et mm, on convertit avant de calculer.
C'est tout. Avec ces trois points, on peut attaquer.
La première question à se poser devant un exercice
Quand votre enfant lit l'énoncé, il doit prendre l'habitude de se poser une seule question avant tout calcul :
« Est-ce que je cherche l'hypoténuse, ou un des deux autres côtés ? »
Cette question commande tout. Si on cherche l'hypoténuse, on additionne les carrés. Si on cherche un côté de l'angle droit, on soustrait. C'est cette logique-là qui débloque 80 % des erreurs en contrôle.
On va le voir en pratique.
Exercice 1 — Calculer l'hypoténuse (le cas le plus simple)
Énoncé : ABC est un triangle rectangle en A. On a AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculer BC.
La bonne question : On cherche quel côté ? → BC est opposé à l'angle droit en A, donc c'est l'hypoténuse. On va donc additionner.
Rédaction propre :
Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25
BC = √25 = 5 cm
Le piège à éviter : ne pas oublier la racine carrée à la fin. BC² = 25 ne veut pas dire BC = 25. On a calculé le carré, il faut revenir à la longueur en prenant la racine.
Petite astuce mémoire : le triangle 3-4-5 est le plus célèbre du collège. S'il revient en contrôle, votre enfant peut donner la réponse en deux secondes — et utiliser le temps gagné pour vérifier les autres exercices.
Exercice 2 — Calculer un côté de l'angle droit (le cas où on retranche)
Énoncé : DEF est un triangle rectangle en D. On a EF = 13 cm et DE = 5 cm. Calculer DF.
La bonne question : On cherche quel côté ? → DF est un côté de l'angle droit (il touche le sommet D où se trouve l'angle droit). L'hypoténuse, c'est EF. On va donc soustraire.
Rédaction propre :
Le triangle DEF est rectangle en D. D'après le théorème de Pythagore :
EF² = DE² + DF²
13² = 5² + DF²
169 = 25 + DF²
DF² = 169 − 25
DF² = 144
DF = √144 = 12 cm
Le piège à éviter : beaucoup d'élèves écrivent directement DF² = 13² + 5² = 194. C'est le réflexe « Pythagore = j'additionne tout ». Faux. On additionne uniquement quand on cherche l'hypoténuse. Sinon, on isole le côté inconnu en passant l'autre carré de l'autre côté du signe égal.
Le bon réflexe à automatiser : avant de calculer, dessiner ou repérer le triangle, mettre une petite croix sur l'hypoténuse, et se demander : je calcule l'hypoténuse ou un autre côté ? Cette demi-seconde de pause évite la moitié des erreurs.
Exercice 3 — Un problème concret (l'échelle contre le mur)
Énoncé : Une échelle de 5 mètres est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? (On donnera une valeur arrondie au centimètre.)
C'est l'exercice qui fait peur parce qu'il n'y a pas de figure. Première étape : dessiner.
L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle. L'angle droit est entre le mur et le sol. L'échelle, c'est l'hypoténuse (le côté en biais, opposé à l'angle droit).
On nomme :
- h = hauteur sur le mur (ce qu'on cherche)
- 1,4 = distance au sol
- 5 = longueur de l'échelle (l'hypoténuse)
La bonne question : on cherche un côté de l'angle droit, donc on soustrait.
Rédaction propre :
D'après le théorème de Pythagore :
5² = 1,4² + h²
25 = 1,96 + h²
h² = 25 − 1,96
h² = 23,04
h = √23,04 ≈ 4,80 m
L'échelle touche le mur à environ 4,80 m de hauteur, soit 4 m 80 cm.
Le réflexe à prendre : dans un problème concret, faire un croquis même approximatif. Pas besoin que ce soit beau — il faut juste pouvoir poser les longueurs et repérer l'hypoténuse. Sans dessin, le cerveau s'embrouille.
Exercice 4 — Le piège classique : un triangle qui n'a pas l'air rectangle
Énoncé : Un triangle MNP a pour côtés MN = 6 cm, NP = 8 cm, MP = 10 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
Ici, on n'utilise pas Pythagore — on utilise la réciproque. La différence est subtile mais essentielle, et c'est presque toujours là que les contrôles piègent les élèves.
La méthode :
- On identifie le côté le plus long : MP = 10 cm. C'est lui qui serait l'hypoténuse si le triangle était rectangle.
- On calcule le carré du plus long côté : 10² = 100.
- On calcule la somme des carrés des deux autres : 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- On compare. Ici 100 = 100.
Conclusion à rédiger proprement :
Comme MP² = MN² + NP², d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en N (l'angle droit est au sommet opposé à l'hypoténuse).
Si les deux nombres avaient été différents (par exemple 100 et 99), il aurait fallu conclure : « Comme MP² ≠ MN² + NP², le triangle n'est pas rectangle. »
Le piège à éviter : ne pas confondre le théorème (« si rectangle, alors a² + b² = c² ») et la réciproque (« si a² + b² = c², alors rectangle »). En 4ème, on apprend les deux. Au brevet, les deux tombent — souvent dans le même sujet.
Exercice 5 — Type brevet (deux étapes, niveau 3ème déjà)
Énoncé : Un terrain rectangulaire mesure 24 m de long et 7 m de large. Quelle est la longueur de la diagonale, en mètres ?
La méthode : la diagonale d'un rectangle, c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont la longueur et la largeur du rectangle.
Rédaction propre :
Soit d la diagonale. D'après le théorème de Pythagore :
d² = 24² + 7²
d² = 576 + 49
d² = 625
d = √625 = 25 m
La diagonale du terrain mesure 25 m exactement.
Pourquoi c'est utile pour le brevet : ce type de question (« calculer la diagonale d'un rectangle » ou « la hauteur d'un triangle isocèle ») revient quasiment chaque année. La technique est toujours la même : repérer le triangle rectangle caché dans la figure, nommer l'hypoténuse, appliquer la formule.
Pour aller plus loin (et arrêter de bloquer en contrôle)
Si votre enfant a fait ces 5 exercices et qu'il en redemande, c'est bon signe : la méthode est en train de rentrer. Le vrai déclic vient quand il s'entend dire tout seul la phrase clé devant l'énoncé : « Je cherche l'hypoténuse ou un autre côté ? » À partir de ce moment-là, Pythagore arrête d'être un piège.
Mais s'il bloque encore — par exemple s'il oublie systématiquement la racine carrée, ou s'il confond Pythagore et la réciproque — ce n'est pas en lui montrant la solution qu'il va comprendre. C'est en lui posant la bonne question au bon moment, et en le laissant trouver la suite tout seul. C'est exactement ce que fait un bon prof particulier — et c'est aussi ce que Comprendo propose en version IA : un tuteur disponible 24h/24 qui ne donne jamais la réponse, mais guide votre enfant question par question jusqu'à ce qu'il trouve par lui-même.
L'essai est gratuit pendant 14 jours, sans carte bancaire, et la première séance suffit souvent à voir si la méthode socratique débloque enfin votre enfant en maths. Pour aller plus loin sur l'aide aux devoirs en maths au collège, vous pouvez aussi lire notre guide aider son enfant en maths sans s'épuiser, et si le brevet approche, notre programme de révision en 4 semaines reprend Pythagore, Thalès et la trigonométrie pas à pas.
Bon courage pour le contrôle de vendredi.
Sources et ressources complémentaires :
- Programme officiel Éducation Nationale, cycle 4 (mathématiques 5ème-3ème) — théorème de Pythagore au programme de 4ème.
- Annales du Diplôme National du Brevet (DNB), épreuve de mathématiques — Pythagore présent dans la grande majorité des sujets depuis 2017.